a4107
| 7 |
|---|
نبحث عن التصنيف. يعتمد التصنيف على تعريف النوع.
لدي كائنين ينتميان إلى نفس النوع خاصية مشتركة.
- خذ كرة، كرة معينة.
- انظر إلى المجموعة الجزئية للمجموعة الكبيرة (مجموعة أقليدس) التي تبقي هذه الكرة ثابتة. يسمّي سوريا هذه المجموعة الجزئية الانتظام للكرة.
- ابحث عن جميع الكائنات التي تبقى ثابتة تحت تأثير عمل هذه المجموعة الجزئية. ستجد جميع الكرات المتمركزة عند نقطة معينة، بما في ذلك الكرة ذات نصف القطر صفر: النقطة.
إذًا، النقطة تنتمي إلى نوع "الكرات المتمركزة عند الأصل".
بالعكس:
- خذ نقطة في فضاء ثلاثي الأبعاد.
- انظر إلى المجموعة الجزئية لمجموعة أقليدس التي تبقي هذه النقطة ثابتة. ستجد مجموعة التماثل المتعامد O(3).
- ثم ابحث عن جميع الكائنات التي تبقى ثابتة تحت تأثير عناصر هذه المجموعة الجزئية، عند الدوران حول هذه النقطة. ستجد جميع الكرات المتمركزة عند هذه النقطة، وتستنتج أن هذه النقطة وكل هذه الكرات تنتمي إلى نوع واحد.
يمكن "بناء" كائنات مثل خط مستقيم، مستوٍ، أسطوانة، إلخ... كنوع مرتبط بمجموعة جزئية معينة.
...في الفيزياء، نريد تصنيف الجسيمات الأساسية. لكنك لا يمكنك أخذ جسيم بين إبهامك وإصبعك ومشاهدته عبر عدسة مكبرة. يمكنك فقط ملاحظة سلوكه، حركته.
أخبرني كيف تتحرك، سأقول لك ما أنت عليه.
...لدي صديق قديم، جان لوي فيلوش، وهو لاعب شطرنج ممتاز. يستطيع اللعب بعينين مغلقتين (بالفرنسية: "يلعب بعمى"، دون رؤية اللوحة). يكفي أن تُخبره بحركة قطعة:
b1-c3
للمبتدئين:
(90) حركة الفرس
...جيان لوي قادر على تذكّر كل هذا في رأسه. لا أعرف كيف يفعل ذلك، لكنه يعمل. وهذا يثبت أن القطع ليست ضرورية للعب (الحاسوب لا يحتاجها).
...تخيل أنك في غرفة وتشعر بجيران يلعبان "لعبة ما". لا تراهما، لكنك تسمع عندما يعلنان عن حركاتهما.
b2-b3 b7-b5 وهكذا دواليك...
...تظن: إنهم يتحركون بشيء ما. ما هي اللعبة؟ تأخذ لوحة، تضع حجارة صغيرة عليها، وتحفظ حركاتهم التالية على ورقة. اعتبر C مؤشر العمود وL مؤشر الصف. تمثل الحركة:
(DC, DL)
إذا كانت |DC| ≤ 1 و|DL| ≤ 1: فهذا يشير إلى حركة الملك.
إذا كانت |DC| = |DL|: فهذا يشير إلى حركة البishop (على طول القطر).
إذا كانت |DC| × |DL| = 0: فهذا يشير إلى حركة البرج.
إذا كانت |DC × DL| = 3: فهذا يشير إلى حركة الفرس.
إذا كان DL موجبًا صارمًا: فهذا يشير إلى جندي أبيض. إذا كان DL سالبًا صارمًا: فهذا يشير إلى جندي أسود.
وهكذا دواليك. نبني تصنيفًا لـ"الكائنات" بناءً على سلوكها.
صورة أخرى. لديك صندوق به براغي مختلطة. تريد تصنيف هذه البراغي. ما الذي تحتاجه؟ حلقات مختلفة.
(91)
- خذ برغيًا.
- ابحث عن الحلقة التي تناسبه.
- اختر جميع البراغي التي تناسب هذه الحلقة. ستحصل على نوع من البراغي.
**المجموعة المتعامدة **O(3).
...يمكننا توسيع ما ذُكر أعلاه في السياق ثنائي الأبعاد إلى السياق ثلاثي الأبعاد. نعرف كيفية إجراء دوران في فضاء ثلاثي الأبعاد بالنسبة لنقطة ثابتة، وهي نقطة الأصل للإحداثيات. يعتمد هذا الدوران على ثلاثة زوايا a, b, g، تُسمى زوايا أويلر. لن نكتب هذه المصفوفة، بل نرمز إليها ببساطة:
(92)
det (a) = +1
إنها مصفوفة متعامدة:
(92b)
...تتألف المجموعة المتعامدة O(3) من جميع المصفوفات المتعامدة، بما في ذلك تلك التي يكون محددها يساوي -1. نسمّي هذه المصفوفات (93)
كما في القسم السابق، يمكننا الحصول على جميع المصفوفات المتعامدة من SO(3) من خلال:
(94)
حيث تكون L المصفوفة القطرية:
(95)
(96)
كل هذا تكرار. لكنه يظهر فورًا التماثلات الأساسية.
(97)
(98)
(98b)
(99)
توجد "مصفوفات مرآة" تُعكس اتجاه الكائنات، وتحولها إلى صورها في المرآة:
(100)
أعط مثالًا على كائن موجه يُعكس اتجاهه بواسطة هذه التماثل المرآة:
(101)
...إنه السطح الذي اخترعه ويرنر بوي، طالب هيلبرت. ستنظر بعناية إلى هذا الكائن المثير للاهتمام في القسم المخصص للرياضيات على الموقع. قمنا بإزالة جزء من السطح لإظهار النقطة الثلاثية T.
...يمكنك تسمية أحد هذه الكائنات "يمينًا" أو "يسارًا". لا أحد أبدًا حدد ما هي الحركة الدورانية "الصحيحة" للسطح بوي. على أي حال: لماذا تُدير سطح بوي؟ يزعم البعض أنه يمكنه الطيران، لكنني متشكك.
التالي:
(102)
(103)
(104)
...كما في الهندسة ثنائية الأبعاد (التماثل بالنسبة إلى الأصل)، فإن التماثل بالنسبة إلى محور السينات يعادل دورانًا بزاوية π. أخيرًا:
(105)
والتي تُغيّر اتجاه الكائنات.