مجموعات وعملية تآزر الفيزياء والزخم

العناصر والأعمال الفيزيائية المشتركة للزخم

يُعرّف عنصر gp من مجموعة باينكاريه Gp بسلسلة من المعلمات {pi}، والعدد الذي يمثله، كما ذكرنا سابقاً، هو البعد المجموعة. تتكوّن المصفوفة d**g (g = e) **من الكميات {dpi}. وبالتالي، فإن التطبيق أعلاه هو من النوع:
(81)

أي أننا نربط مجموعة من القيم العددية dpi بعدياً مساوياً من القيم العددية dpi'. تكمن الثنائية في افتراض ثبات القيمة العددية، وفقاً:

(82)

حيث n هو بعد المجموعة (عشرة، بالنسبة لمجموعة باينكاريه). تمثل القيم العددية Ji مكونات الزخم، بنفس العدد.

سنقرر تقسيم هذا الزخم **J **إلى كائنين. الأول سيكون مصفوفة M غير متماثلة من الشكل (4,4)، أي أن لها ست مكونات، والثاني هو "متجه رباعي الأبعاد" P، مصفوفة من الشكل (4,1):

(83)

(84) **J **= { M , p , E} = { M , P } نكتب الجداء الداخلي على الشكل:

(85)

Tr تعني "trace de"، وسنحصل أيضاً:

(86)

الشكل الخطي الذي يضمن ثبات الثنائية.

مع:

(87) (87b)

(87c)

لكن GG = 1 لذا فإن هذا يساوي:

(88)

لنحدد المصطلحات في y (89)

أي أن:

(90)

----> مرة أخرى، تليها تفاصيل حساب المصفوفات. إذا كنت ترغب، بالنقر هنا يمكنك الانتقال مباشرة إلى النتيجة

في هذه الأثر يمكننا تبديل مصطلحات الدوران دوّاراً.
(90a)

(90b)

(90c)

المصطلح الثاني في الطرف الأيمن يساوي جداء مصفوفة سطرية بمصفوفة عمودية.

هذا يساوي أثر الجداء العكسي (كما هو موضح أدناه، جداء مصفوفة سطرية بمصفوفة عمودية):
(90d)

في هذه الأثر، يمكنني تبديل مصطلحات الدوران دوّاراً:
(90e)

إذن:
(90f)

(90g)

هنا سنطبّق مجدداً النظرية المتعلقة بأثر المصفوفات التي هي جداء مصفوفة أخرى بمصفوفة متماثلة.

يمكن تتميم أي مصفوفة أو جعلها غير متماثلة. علاوة على ذلك، فإن أثر جداء مصفوفة بمصفوفة متماثلة يساوي صفر.
(90h)

يمكنني تطبيق ذلك على المصفوفة (90i) لأننا نأخذ الأثر
(90j)

(90k) = sym ( ) + antisym ( )

لكن:
(90l)

إذن
(90m) (90n)
(90o)
(90p)

و:
(90q)

أثراً:
(90r)

بجمعها وتبديلها، نحصل على فعل المجموعة:

الصور