4
المصفوفات المتعامدة. المجموعات المتعامدة.
لنأخذ مصفوفة مربعة
a
. تُقابل المصفوفة المرافقة تبادل العناصر المتناظرة بالنسبة للقطر، كما هو موضح في الشكل:
(38)
نرمز للمصفوفة العكسية بـ
a -1
وهي تحقق العلاقة:
a × a -1 = 1
من الآن فصاعدًا، لن نكتب رمز الضرب ×، وسنكتب ببساطة:
a a -1 = 1
عندما تكون حرفان مكتوبان بخط غامق جنبًا إلى جنب، نعتبر تلقائيًا أنهما يمثلان ضرب مصفوفتين.
المصفوفة المتعامدة هي مصفوفة يكون عكسها مطابقًا لمرافقتها.
(38ب)
يمكن إثبات أن:
(38ج)
وبالتالي يكون محدد المصفوفة المتعامدة ± 1.
توجد مصفوفات متعامدة من أي رتبة (n,n). وتشكل مجموعات
O(n)
حيث تُمثل O(n) مجموعة المصفوفات المتعامدة (n,n).
لننظر إلى المصفوفات التالية:
(39)
هذه مصفوفات متعامدة، ومحدداتها هي:
det (
g
) = +1
وهي مجموعة جزئية من المجموعة المتعامدة
O(2)، وتُسمى "المجموعة المتعامدة الخاصة" SO(2).
لدينا المجموعة المتعامدة O(3)، المكونة من مصفوفات متعامدة (3,3)، ومحدداتها = ± 1. وتمتلك مجموعة جزئية SO(3) مكوّنة من مصفوفات متعامدة محددها +1.
في الأبعاد الأربعة: لدينا المجموعة المتعامدة O(4) ومجموعتها الجزئية: المجموعة المتعامدة الخاصة SO(4).
في الأبعاد n: المجموعة المتعامدة O(n)، المكونة من مصفوفات متعامدة (n,n)، ومحدداتها ± 1. وتمتلك مجموعة جزئية تُسمى "المجموعة المتعامدة الخاصة" SO(n)، المحدودة بالمصفوفات المتعامدة التي يكون محددها +1.
يمكن إثبات أن بعد المجموعة المتعامدة هو (40)
التطبيق على المستوى ثنائي الأبعاد: بعد المجموعة هو 1.
التطبيق على الفضاء ثلاثي الأبعاد، بعد المجموعة هو ثلاثة (الزوايا الثلاث لآويلر).
التطبيق على الفضاء أربعة أبعاد، يصبح البعد ستة.
لقد قمنا بتعريف المجموعة الخاصة الإقليدية الموجهة SE(2):
(41)
التي تجمع بين الدوران والانزلاق.
نرمز بـ:
(42)
ثم يمكننا كتابة المصفوفة وتأثيرها على الفضاء:
(43)
ملاحظة:
(44)
في فضائنا المستوي ثنائي الأبعاد، في مستوينا، نجد كيانات مثل:
(45)
عند النظر إلى هذه الكيانات الخاصة:
(46)
فإنها تنتمي إلى نوع واحد. إذا أخذت أي زوج من هذه الكيانات، يمكنني إيجاد عنصر من المجموعة يحول الأول إلى الثاني، والعكس بالعكس.
الزوج الثاني من الكيانات:
(47)
ينتمي إلى نوع آخر.
كذلك الأمر بالنسبة للثالث:
(48)
لكن:
(49)
لا يمكنني إيجاد أي تركيب من الدوران مع الانزلاق
c
يحول أحدهما إلى الآخر.
هل يمكننا تعديل المجموعة الإقليدية الموجهة لجعل هذا ممكنًا؟
الفهرس نظرية المجموعات الديناميكية