6
مكونات المجموعة.
لقد نظرنا إلى مجموعتين: SO(2) وO(2). تحتوي الثانية على الأولى.
تحتوي الأولى على العنصر المحايد. يمكن تمثيل عناصر المجموعة كالتالي:
(73)
.
تشكل عناصر المكونة الأولى مجموعة (زمرة فرعية).
أما عناصر المجموعة الثانية فلا تشكل مجموعة، لعدة أسباب:
-
فهي لا تحتوي على
العنصر المحايد 1. -
يمكن اختيار مصفوفتين من هذه المكونة الثانية بحيث يكون حاصل ضربهما ليس ضمن هذه المكونة الثانية. مثال:
(74)
يُسمى المكون الذي يحتوي على العنصر المحايد
1
بالـ
"المكون المحايد" للمجموعة.
في ما يلي، سننظر في مجموعات ذات 2 أو 4 أو 8 مكونات.
زمرة إقليدس.
يمكننا الآن دمج هذه الزمرة الموسعة والغنية مع التحويل الثنائي الأبعاد، فنحصل على:
(75)
والعملية المرتبطة بهذه الزمرة الإقليدية:
(76)
لنفترض أننا نستخدم زمرتنا لمعالجة، وإدارة، ودراسة حروف الأبجدية.
نقتصر على المجموعة التالية:
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
لدينا عدة أحجام:
(77)
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
نعلم أنه لا يمكننا إيجاد أي عنصر من الزمرة، ولا أي عملية لاحقة من الزمرة، قادر على تحويل:
G إلى G
لأن أحجامها مختلفة. نقرر تسمية هذه الأحجام بـ
"الكتلة"
لكي يكون G وG مشابهين لجسيمات أو كائنات أو ذرات تمتلك كتلًا مختلفة.
الآن، يعتمد ذلك على الزمرة التي تعمل على هذا المجموعة من الكائنات. إذا استخدمت:
(78)
لنفترض أن هذا "العالم" مملوء بـ:
(79)
بمجموعة معينة من الأحجام (الكتل) والزوايا. إذا طبّقت أي عمليات زمرية، فلن أتمكن أبدًا من العثور على كائنات تنتمي إلى الأبجدية الروسية:
(80)
وسيصبح ذلك ممكنًا إذا استخدمت الزمرة الموسعة، زمرة إقليدس:
(80b)
ثم يصبح "عالمي" كالتالي:
(81)
أثّرت الزمرة على "مزرعة الحروف". ولكن في مزرعتي، هناك حرف واحد غير متغير بفعل التماثل، أي:
(82)
(83)
(84)
(85)
بشكل عام، أي تماثل بالنسبة لأي خط مستقيم في المستوى، أي "مرآة ثنائية الأبعاد"، لا يُغيّر "الطبيعة" لهذا الرمز
(86)
سأسمي هذا الرمز "فوتونًا" وأعتبر التحويل
(87)
مطابقًا لثنائية المادة والمضادة-مادة. وهكذا أحصل على مزرعة عالمية:
(88)
يمكننا ربط الحروف ذات الشكل نفسه (الطبيعة) ولكن ب أحجام مختلفة (تمثيل طاقتها)، باستخدام زمرة ديكارت:
(89)
لكننا لن نبني نموذجًا محاكاة كاملاً للجسيمات الأساسية، مبنيًا على الحروف الأبجدية. ومع ذلك، تبدأون في إدراك إلى أين نتجه. تمتلك الزمر مظاهر بسيطة، لكنها تمتلك خصائص مخفية. تعتمد هذه الخصائص على زمرها الفرعية، التي تُولّد
الأنواع.
تترافق زمرة إقليدس مع عالم إقليدي، ومزرعة إقليدية. تُسمى الحيوانات في الهندسة الإقليدية: كرة، أسطوانة، مكعبات، مستوٍ، خط مستقيم، مثلثات، وهكذا. وهي غير متغيرة تحت تأثير بعض الزمر الفرعية. يسمّي سوريا الزمرة الفرعية المرتبطة بجسم ينتمي إلى نوع ما بـ
"الانتظام"
لهذا الجسم.
مثلاً، الكرات المتمركزة عند نقطة معينة O تكون غير متغيرة تحت زمرة الدوران حول هذه النقطة.
-
يمكن اعتبار أن
الحالة غير المتغيرة هي خاصية للنوع المسمى "كرات متمركزة عند نقطة O". -
وبالعكس، يمكن اعتبار أن
هذه الخاصية
تُعرّف
النوع.
الفهرس: نظرية الزمر الديناميكية