7
نبحث عن التصنيف. يعتمد التصنيف على تعريف النوع.
لدي كائنين ينتميان إلى نفس النوع خاصية مشتركة.
-
خذ كرة، كرة مميزة.
-
انظر إلى المجموعة الجزئية للمجموعة الكبيرة (مجموعة أقليدس) التي تترك هذه الكرة ثابتة. يسمي سوريا هذه المجموعة الجزئية "الانتظام" للكرة.
-
ابحث عن جميع الكائنات التي تبقى ثابتة تحت تأثير هذا المجموعة الجزئية. ستجد جميع الكرات المركزية عند نقطة معينة، بما في ذلك الكرة ذات نصف القطر الصفر: النقطة.
إذًا النقطة تنتمي إلى نوع "الكرات المركزية حول الأصل".
بالعكس:
-
خذ نقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
-
انظر إلى المجموعة الجزئية لمجموعة أقليدس التي تترك هذه النقطة ثابتة. ستجد المجموعة المتعامدة O(3).
-
ثم ابحث عن جميع الكائنات التي تبقى ثابتة تحت تأثير عناصر هذه المجموعة الجزئية، عند الدوران حول هذه النقطة. ستجد جميع الكرات المركزية عند هذه النقطة، وستستنتج أن هذه النقطة وكل هذه الكرات تنتمي إلى نفس النوع.
يمكن "بناء" كائنات مثل خط مستقيم، مستوٍ، أسطوانة، إلخ، كنوع مرتبط بمجموعة جزئية معينة.
في الفيزياء، نريد تصنيف الجسيمات الأساسية. لكن لا يمكنك أخذ جسيم بين إبهامك وسبابتك ومشاهدته بمنظار مكبر. لا يمكنك سوى ملاحظة سلوكه، حركته.
أخبرني كيف تتحرك، سأقول لك ما أنت عليه.
لدي صديق قديم، جان لوي فيلوش، وهو لاعب شطرنج ممتاز. يمكنه اللعب دون رؤية اللوحة (بالفرنسية: "يلعب بعمى"). يكفي أن تُخبره بحركة قطعة:
b1-c3
للمبتدئين:
(90)
حركة الحصان
يستطيع جان لوي حفظ كل هذا في ذهنه. لا أعرف كيف يفعل ذلك، لكنه يعمل. وهذا يثبت أن القطع ليست ضرورية للعب (الحاسوب لا يحتاجها).
تخيل أنك في غرفة وسمعت جارين يلعبان "لعبة ما". لا تراهما، لكنك تسمع عندما يعلنان حركتهما.
b2-b3
b7-b5
وهكذا دواليك...
تظن: إنهم يحركون شيئًا. ما هي اللعبة؟ تأخذ لوح شطرنج، تضع حجارة صغيرة عليه، وتحدد حركاتهم التالية على ورقة. نسمّي C مؤشر العمود وL مؤشر الصف. تمثل الحركة:
( D C , D L )
إذا كانت |DC| = 1 و|DL| = 1: فهذا يمثل حركة الملك.
إذا كانت |DC| = |DL|: فهذا يمثل حركة البشارة (على طول القطر).
إذا كانت |DC| × |DL| = 0: فهذا يمثل حركة البرج.
إذا كانت |DC × DL| = 3: فهذا يمثل حركة الحصان.
إذا كان DL موجبًا صارمًا: فهذا يمثل جنديًا أبيض. وإذا كان سالبًا صارمًا: فهذا يمثل جنديًا أسود.
وهكذا دواليك. نبني تصنيفًا لـ "الكائنات" مبنيًا على سلوكها.
صورة أخرى. لديك صندوق به براغي مختلطة. تريد تصنيف هذه البراغي. ما الذي تحتاجه؟ براغي مختلفة.
(91)
-
خذ برغيًا.
-
ابحث عن المسمار المناسب له.
-
اختر جميع البراغي التي تناسب هذا المسمار. ستحصل على نوع من البراغي.
المجموعة المتعامدة O(3).
يمكننا توسيع ما وُضع أعلاه في السياق ثنائي الأبعاد إلى السياق ثلاثي الأبعاد. نعرف كيف نُجري دورانًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد بالنسبة لنقطة ثابتة، وهي نقطة الأصل. يعتمد هذا الدوران على ثلاثة زوايا a, b, g، تُسمى زوايا أويلر. لن نكتب هذه المصفوفة، بل نرمز إليها ببساطة:
(92)
det (a) = +1
إنها مصفوفة متعامدة:
(92b)
تتألف المجموعة المتعامدة O(3) من جميع المصفوفات المتعامدة، بما في ذلك تلك التي يكون محددُها -1. نسمّي هذه المصفوفات (93)
كما في القسم السابق، يمكننا الحصول على جميع المصفوفات المتعامدة من SO(3) عبر:
(94)
حيث L هي المصفوفة القطرية:
(95)
(96)
كل هذا تكرار. لكنه يُظهر فورًا التماثلات الأساسية.
(97)
(98)
(98b)
(99)
توجد "مصفوفات مرآة" تُعكس اتجاه الكائنات، وتحولها إلى صورتها في المرآة:
(100)
أعطِ مثالًا على كائنات موجهة يُعكس اتجاهها من خلال هذه التماثل المرآة:
(101)
إنها السطح الذي اخترعه فيرنيير بوي، طالب هيلبرت. سنتناول هذا الكائن المثير للاهتمام بعناية في القسم المخصص للرياضيات على الموقع. قمنا بإزالة جزء من السطح لعرض النقطة الثلاثية T.
يمكنك تسمية أي من هذه الكائنات "يمينًا" أو "يسارًا". لا أحد أبدًا حدد ما هي الحركة الدورانية "الصحيحة" للسطح بوي. على كل حال: لماذا نُدير سطح بوي؟ بعضهم يدّعي أنه يمكنه الطيران، لكنني متشكك.
ثم:
(102)
(103)
(104)
كما في الهندسة ثنائية الأبعاد (التماثل بالنسبة للأصل)، فإن التماثل بالنسبة لمحور x يعادل دورانًا بزاوية π.
وأخيرًا:
(105)
التي تُغيّر اتجاه الكائنات.
فهرس نظرية المجموعات الديناميكية