a4103
| 3 |
|---|
Skupina posunutí:
Uvažujme dvourozměrný prostor (x,y). V takovém prostoru je posunutí určeno vektorem posunutí (Dx,Dy). Obvykle píšeme:
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
Nové hodnoty x' a y' získáme pomocí sčítání. Mohli bychom stejné výsledky získat pomocí .....násobení ?
Zvažme následující matice:
(28)
Všimněme si, že jsou určeny dvěma nezávislými parametry Dx a Dy. Rozměr skupiny je tedy 2.
Tvar:
(29)
Všimněme si, že se zásadně liší od jednoduché maticové násobení
(30) g x r
Jedná se o specifickou akci skupiny.
(31)
Kromě toho můžeme uvažovat posunutí v prostoru s 3 nebo 4 rozměry. Příslušné čtvercové matice, tvořící skupiny, jsou:
(32)
(33)
Příslušná akce je:
(34)
Skupina posunutí je komutativní. Jejím neutrálním prvkem je nulové posunutí.
Proč skupiny matic?
...S pomocí skupin matic můžeme spojit více operací do jedné, do jediné akce. Zvažme následující matice a následující akci:
(35-1)
...Spojujeme dvě věci: rotaci (úhel a) a posunutí (Dx,Dy).
Prvek g skupiny G působí na prostor r = (x,y), ne „přímo“, ale prostřednictvím jemnější „akce“. Tato skupina
(35-2)
nazývaná „speciální eukleidovská skupina SE(2)“ působí na dvourozměrném prostoru. Tento název bude později vysvětlen.
Jaký je její rozměr? Závisí na třech nezávislých parametrech: (a, Dx, Dy), takže její rozměr je tři. Můžeme to napsat jako:
gSE (a, Dx, Dy)
Podskupiny.
Pro nás je skupina množinou čtvercových matic. Mezi touto množinou můžeme najít podmnožiny.
gSE (0, Dx, Dy) je podskupina posunutí. gSE (a, 0, 0) je podskupina rotací kolem počátku 0. gSE (0, Dx, 0) je podskupina posunutí rovnoběžných s osou OX.
Výše uvedená skupina přenáší body. Tyto body nemají žádné zvláštní vlastnosti. Jsou to... body, nic jiného.
...Ale později budou jiné skupiny, popisující fyzikální svět, přenášet body s různými vlastnostmi, „atributy“: hmotnost, energie, hybnost, spin...
S výše uvedenou skupinou jsou zajímavé pouze množiny bodů. Zde se objevuje základní koncept:
Druh.
...Naše první skupina přenáší geometrické objekty, které jsou množinami bodů, geometrické ("tuhé") útvary. Nejjednodušší množina se skládá ze dvou bodů. Zvažme dvojice bodů v rovině:
(35-3)
...Na obrázku (35-3) jsou znázorněny dvě dvojice bodů (A,B) a (A',B'). Můžu najít prvek skupiny, který převede (A,B) na (A',B'): spojením rotace kolem bodu O a posunutí. Viz obrázek (35-4).
(35-4)
Nyní zvažme dvě dvojice:
(35-5)
Není možné najít žádný prvek g (čtvercovou matici) ze skupiny G, který by přenesl (A,B) na (A",B"). Řeknu, že:
(A,B) a (A',B') patří do stejného druhu.
(A,B) a (A",B") patří do různých druhů.
Charakteristika druhu dvojic bodů se nazývá délka.
Toto je definice délky v termínech teorie skupin.
...Jak můžete tvrdit, že dvě úsečky mají stejnou délku? Protože je můžete porovnat, překrytím jedné na druhou.
...V naší skupině dvě úsečky s různou délkou patří do různých druhů, protože naše skupina nepovoluje dilatace nebo kontrakce (homotetické transformace). Skupina, která tuto úlohu řeší, je jiná ("speciální kartézská skupina"):
(35-6)
Vzhledem k této skupině tvoří všechny dvojice bodů jeden druh. Rozměr této skupiny je čtyři.
Místo dvou bodů můžeme zvažovat tři nebo čtyři body, ty poslední například tvořící čtverce.
(36)
...Vzhledem ke skupině (35-1) patří čtverce se stejnou délkou strany do stejného druhu. Ale pokud jsou strany dvou čtverců zásadně různé:
(37)
patří do různých druhů.
Tato skupina, která řídí posunutí v 2D a rotace kolem pevného bodu roviny, je speciální eukleidovská skupina: SE(2).
Nyní snadno můžeme představit podobnou skupinu působící na trojrozměrném prostoru. Skupiny posunutí v 3D a 4D byly uvedeny v (32) a (33).
Snadno si můžeme představit skupinu popisující posunutí v n-rozměrném prostoru. Ale co rotace?
...Můžeme si představit rotaci v trojrozměrném prostoru. Můžeme ji dokonce zapsat pomocí matice obsahující tři úhly, Eulerovy úhly: její rozměr je tedy tři.
Index teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
a4103
| 3 |
|---|
Group of translations :
Consider 2d space (x,y). In such space a translation is defined by translation vector ( Dx,Dy). We use to write :
(27) x' = x + Dx y' = y + Dy
To get the new values x' and y' we use addition . Could we get the same results through a ..... multiplication ?
Consider the following matrixes :
(28)
Notice they are defined by two independent parameters Dx and Dy. Then the dimension of the group is 2.
Form :
(29)
Notice this is basically different from the simple matricial multiplication
(30) g x r
It is a peculiar group's action.
(31)
By the way, notice we can consider translations in 3d or 4d spaces. The corresponding square matrixes, forming groups, are
(32)
(33)
The corresponding action is :
(34)
The group of translations is commutative. Its neutral element is the null-translation.
Groups of matrixes : why ?
...With matrixes' groups we can combine several operations into a single one, into a single action. Consider the following matrixes and the following action :
(35-1)
...We combine two things : a rotation ( angle a ), plus a translation (Dx,Dy).
The element g of the group G acts on space r = (x,y), not "directly" but through some more refined "action". This group
(35-2)
called "Special Euclid's group SE(2) ", acts on 2d space. This name will be explained further.
What is its dimension ? It depends on three free parameter : (a , Dx , Dy), so that its dimension is three. We may write :
gSE (a, Dx ,Dy)
Sub-groups.
For us, a group is a set of square matrixes. Among this set we can find sub-sets.
gSE (0, Dx, Dy) is the sub-group of translations. gSE (a, 0, 0) is the sub-group of rotations around the origin 0 . gSE (0, Dx, 0) is the sub-group of translation parallel to the axis OX.
The above group carries points. These point own no peculiar characteristics. They are... points, nothing else.
...But, later, other groups, which describe physical world, will carry points which will have different characteristics, "attributes" : mass, energy, impulsion, spin....
With the above group only sets of points are interesting to carry. Here appears the fundamental concept of :
Species.
...Our first group carries geometrical objects, which are sets of points, geometrical ("rigid") figures. The most simple set is composed by two points. Consider couples of points in a 2d space :
(35-3)
...On figure (35-3) two couples of points (A,B) and (A',B') have been figured. I can find an element of the group that transforms (A,B) into (A',B') : combining a rotation around the point O and a translation. See figure (35-4).
(35-4)
Now consider the two couples :
(35-5)
Impossible to find any element g ( square matrix ) of my group G which can carry (A,B) on (A",B"). I will say that:
(A,B) and (A',B') belong to a same species.
(A,B) and (A",B") belong to different species.
The characteristic of a species of couples of points is called length .
This is the definition of length in terms of group theory.
...How can you affirm that two segments have the same length ? Because you can compare them, putting one onto the other one.
...In our group two segments, whose lengths, are different belong to different species, because our group does not rule dilatations or contractions ( homothetic transforms ). The group which takes that in charge is a different one ("Special Descartes' group" ):
(35-6)
with respect to such group all couples of points form the same species. The dimension of this group is four.
Instead two points, we could consider three or four, these last forming squares, for an example.
(36)
...With respect to the group (35-1), squares whose sides have the same length belong to the same species. But if the sides of two squares are basically different :
(37)
they belong to different species.
This group, ruling 2d translation and rotations around a fixed point of a plane is the Special Euclid's group : SE(2).
Now we imagine easily a similar group acting on a 3d space. The group of 3d and 4d translations were given in (32) , (33).
We can imagine easily a group describing translations in a n-dimensional space. But what about rotations ?
...We can imagine rotation in a 3d space. We can even write it with a matrix which contains three angles, the Euler angles : then its dimension is three.