a4104
| 4 |
|---|
Ortogonální matice. Ortogonální skupiny.
Zvažme čtvercovou matici a. Převrácená matice odpovídá výměně prvků symetrických vzhledem k diagonále, jak je znázorněno na obrázku:
(38)
Značíme inverzní matici a-1
Splňuje vztah:
a × a-1 = 1
Od teď už nebudeme psát znaménko × a napíšeme jednoduše: a a-1 = 1. Když jsou dvě tučné písmena vedle sebe, považujeme je automaticky za součin dvou matic.
Ortogonální matice je matice, jejíž inverzní matice se shoduje s její transponovanou maticí.
(38b)
Lze ukázat, že:
(38c)
z čehož vyplývá, že determinant ortogonální matice je ± 1.
Jedná se o ortogonální matice libovolného řádu (n,n). Tvoří skupiny
O(n) O(n) je množina ortogonálních matic (n,n).
Zvažme matice:
(39)
Jsou to ortogonální matice, jejichž determinant je:
det ( g) = +1
Je to podskupina ortogonální skupiny O(2), nazývaná „speciální ortogonální skupina“ SO(2).
Máme ortogonální skupinu O(3), složenou z ortogonálních matic (3,3), jejichž determinant = ± 1. Má podskupinu SO(3), složenou z ortogonálních matic, jejichž determinant je + 1.
Ve čtyřech dimenzích: máme ortogonální skupinu O(4) a její podskupinu: speciální ortogonální skupinu SO(4).
n dimenzí: ortogonální skupina O(n), složená z ortogonálních matic (n,n), jejichž determinant je ± 1. Má podskupinu nazývanou speciální ortogonální SO(n), omezenou na ortogonální matice, jejichž determinant je + 1.
Lze ukázat, že dimenze ortogonální skupiny je (40)
Aplikace na dvourozměrný prostor: dimenze skupiny je 1.
Aplikace na trojrozměrný prostor: dimenze skupiny je tři (tři Eulerovy úhly).
Aplikace na čtyřrozměrný prostor: dimenze se stane šesti.
Zavedli jsme orientovanou speciální euklidovskou skupinu SE(2):
(41)
Která kombinuje rotace a posunutí.
Označme:
(42)
Potom můžeme napsat matici a její působení na prostor:
(43)
Poznámka:
(44)
Ve našem dvourozměrném rovinném prostoru najdeme objekty jako:
(45)
Zvažme tyto specifické objekty:
(46)
patří do jedné druhu. Pokud vezmeme jakýkoli pár těchto objektů, mohu najít prvek skupiny, který přenese první na druhý a naopak.
Druhá podmnožina objektů:
(47)
patří do jiného druhu.
Třetí také:
(48)
Ale:
(49)
Nemohu najít žádnou kombinaci rotace a posunutí c, která by přenesla jeden na druhý.
Můžeme upravit orientovanou euklidovskou skupinu, aby to bylo možné?
Index Teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
a4104
| 4 |
|---|
Orthogonal matrixes. Orthogonal groups.
Take a square matrix a. The transposed matrix corresponds to the commutation of the terms which are symmetric with respect to the diagonal, as shown on the figure :
(38)
We write the inverse matrix a-1
It obeys :
a x a-1 = 1
Right now, we will no longer write the sign x and just write : a a-1 = 1 When two bold letters are side to side, we consider that it corresponds automatically to the multiplication of two matrixes.
An orthogonal matrix is a matrix whose inverse identifies to its transposed.
(38b)
One can show that :
(38c)
so that the determinant of an *orthogonal matrix *is ± 1 .
They are orthogonal matrixes of any rank ( n,n) . They form groups
O(n) O(n) is the set of orthogonal matrixes (n,n).
Consider matrixes :
(39)
They are orthogonal matrixes, whose determinant is :
det ( g) = +1
It is a sub-group of the orthogonal group O(2), which is called "special orthogonal group" SO(2).
We have an orthogonal group O(3), composed by (3,3) orthogonal matrixes, whose determinant = ± 1 . It owns a sub-group SO(3) composed by orthogonal matrixes whose determinant is + 1 .
In four dimensions : we have the orthogonal group O(4) and its sub-group : the special orthogonal group SO(4).
n dimensions : orthogonal group O(n), composed by (n,n) orthogonal matrixes, whose determinant is ± 1 . It owns a sub group, called Special orthogonal SO(n) limited to orthogonal matrixes whose determinant is + 1.
One can show that the dimension of an orthogonal group is (40)
Applying to two dimensional space : the dimension of the group is 1.
Applying to three dimensional space, the dimension of the group is three ( the three Euler's angles ).
Applying to four dimensional space, the dimension becomes six.
We have introduced the oriented Special Eulclid's group SE(2):
(41)
Which combined rotations and translation.
Call :
(42)
Then we can write the matrix and the action on space :
(43)
Remark :
(44)
In our 2d flat space, in our plane, we find objects like :
(45)
Considering these peculiar objects :
(46)
they belong to a species. If I take any couple of those object, I can find and element of the group which carries the first onto the second, and vice-versa.
The second sub-set of object :
(47)
belongs to another species.
The third, too :
(48)
But :
(49)
I cannot fing any combination rotation a plus translation c that put one on the other.
Can we modify oriented Euclid's group in order to make this possible ?