a4105
| 5 |
|---|
Symetrie.
(49b)
Co to znamená?
Zvažme skupinu složenou ze čtyř prvků (tzv. „diskrétní skupina“).
(50)
kterou mohu napsat jako:
(51)
Příslušná akce je:
(52)
Je zřejmé, že může obrátit souřadnici x, souřadnici y nebo obě.
Schématicky:
(53)
(54)
(55)
(56)
Nyní můžeme sestrojit matici:
(57)
Můžeme ověřit, že tento soubor matic tvoří skupinu.
Jejich determinant je:
(58)
det ( a ) = l m (cos² a + sin² a) = l m = ±1
Ověřme, že inverzní matice je:
(59)
(60)
(61) Takže:
(62)
odkud:
(63)
...SO(2) (tzv. speciální ortogonální grupa) je podskupinou O(2) (tzv. ortogonální grupa) a můžeme z matic a vytvořit matice a pomocí:
(64)
Zajímavostí je, že mnoho těchto matic je nadbytečných. Například pokud
(64b)
(65)
což znamená, že změna (x → -x; y → -y) je ekvivalentní rotaci o p. Viz následující obrázek.
(66)
Víme, že matice:
(67)
představují jednoduchou rotaci kolem počátku souřadnic O.
Jaký je význam obecnějších matic:
(68)
Z:
(69)
víme, že a odpovídá dvěma kombinovaným operacím:
- Zrcadlová symetrie podle osy OX, nebo OY, nebo obou.
- Rotace o úhel a kolem počátku souřadnic.
(70)
Na obrázku je znázorněn pořadí dvou operací
(M1 → M4)
Je zřejmé, že je ekvivalentní zrcadlové symetrii podle přímky procházející bodem O
(71)
...Zbohatli jsme o „speciální ortogonální grupu“ SO(2), která byla původně součástí „ortogonální grupy“ O(2). Zjistili jsme tak, že tato rozšířená skupina obsahuje zrcadlové symetrie: všechny symetrie podle přímek procházejících počátkem souřadnic O.
(72)
Index Teorie grup dynamických systémů
Původní verze (anglicky)
a4105
| 5 |
|---|
Symmetries.
(49b)
What does it mean ?
Consider a group composed by four elements ( a "discrete group" ).
(50)
that I can write :
(51)
The corresponding action is :
(52)
Clearly it may reverse the x coordinate, the y coordinate, or the two.
Schematically :
(53)
(54)
(55)
(56)
Now we may build the matrix :
(57)
We can check such set of matrixes form a group.
Their determinant is :
(58)
det ( a ) = l m ( cos 2 a + sin 2 a ) = l m = ±1
Check the inverse matrix is :
(59)
(60)
(61) So that :
(62)
whence :
(63)
...SO(2) (called special orthogonal group) is a sub-group of O(2) (called orthogonal group) and we may form the matrixes **a **from the matrixes a through :
(64)
By the way, many are redundant. For an example, if
(64b)
(65)
which means that changing ( x ---> - ; y ---> -y ) is equivalent to a rotation of p . See next figure.
(66)
We know that matrixes :
(67)
correspond to a simple rotation around the center of coordinates O.
What is the meaning of more general matrixes :
(68)
From :
(69)
we know that a corresponds to two combined operations :
- A symmetry with respect to axis OX , or OY , or both.
- A rotation a around the center of coordinates.
(70)
On the figure is shown the succession of the two operations
( M1 ----> M4 )
It is clear that it is equivalent to a symmetry with respect to a straight line passing by O
(71)
...We have enriched the "special orthogonal group " SO(2) which began the "orthogonal group" O(2). Then we discovers that this extended group contains mirror-symmetries : all the symmetries with respect to straight lines passing by the origin of coordinates O.
(72)