a4106
| 6 |
|---|
Složky skupiny.
Zvažovali jsme dvě skupiny: SO(2) a O(2). Druhá obsahuje první.
První obsahuje neutrální prvek. Prvky skupiny můžeme znázornit následovně:
(73) .
Prvky první složky tvoří skupinu (podskupinu).
Prvky druhé složky netvoří skupinu z mnoha důvodů:
- Neobsahuje neutrální prvek 1.
- Můžeme vybrat dvě matice v této druhé složce, jejichž součin nepatří do této druhé složky. Příklad:
(74)
Složka skupiny obsahující neutrální prvek 1 se nazývá
neutrální složka skupiny.
V následujícím budeme zvažovat skupiny s 2, 4 nebo 8 složkami.
Eukleidova skupina.
Nyní můžeme integrovat tuto rozšířenou, obohacenou skupinu s 2D posunem a získáme:
(75)
a příslušnou akci této Eukleidovy skupiny:
(76)
Představme si, že používáme naše skupiny k manipulaci, řízení a studiu písmen abecedy.
Omezme množinu na: A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Máme několik velikostí:
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
Víme, že nelze najít žádný prvek skupiny ani následnou akci skupiny, která by převedla:
G na G
protože jejich velikosti jsou různé. Rozhodneme se velikosti nazývat hmotnosti, takže G a G jsou podobné částicím, objektům, atomům s různými hmotnostmi. Nyní záleží na skupině působící na tuto množinu objektů. Pokud použiji:
(78)
představme si, že tento „svět“ je naplněn:
(79)
s určitým spektrem velikostí (hmotností) a úhlů. Pokud aplikuji jakoukoli akci skupiny, nikdy nenajdu objekty patřící k ruštině:
(80)
Bude to možné, pokud použiji obohacenou skupinu, Eukleidovu skupinu:
(80b)
Pak se můj „svět“ změní na:
(81)
Skupina obohatila „zoo“ písmen. Ale v mé záhradě je jeden prvek symetrií invariantní, tedy:
(82)
(83)
(84)
(85)
... Obecně každá symetrie podle libovolné přímky roviny, která je „2D zrcadlem“, nezmění „povahu“ tohoto znaku
(86)
Tento znak pojmenuji „foton“ a transformaci
(87)
přirovnám k dualitě hmota-antihmota. Pak získám celkové zoo:
(88)
Můžeme spojit písmena stejného tvaru (povahy), ale různých velikostí (reprezentujících jejich energii), pomocí Descartovy skupiny:
(89)
... Ale nebudeme vytvářet úplný analogický model elementárních částic založený na abecedních znacích. V každém případě začínáte vidět, kam směřujeme. Skupiny mají velmi jednoduché aspekty, ale skryté vlastnosti. Tyto vlastnosti závisí na jejich podskupinách, které generují druhy.
... Eukleidova skupina souvisí se světem Eukleida, s Eukleidovým zoo. Zvířata eukleidovské geometrie se jmenují koule, válec, hranoly, rovina, přímka, trojúhelníky atd. Jsou invariantní vůči akci určitých podskupin. Souriau nazývá podskupinu spojenou s objektem patřícím k druhu pravidelnost tohoto objektu.
Například koule se středem v daném bodě O jsou invariantní vůči podskupině rotací kolem tohoto bodu.
-
Můžeme považovat invariantnost za vlastnost druhu nazývaného „koule se středem v bodě O“.
-
Naopak můžeme považovat tuto vlastnost za definici druhu.
Index Teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
a4106
| 6 |
|---|
Components of a group.
We have considered two groups : SO(2) and O(2). The second contains the first.
The first contains the neutral element. We can figure the elements of the group as follows :
(73) .
The elements of the first component form a group (a sub-group).
The elements of the second group do not form a group, for many reasons :
- It does not contain the neutral elements **1.
**- we can pick two matrices in this second component, whose product does not belong to this second component. Example :
(74)
The component of the group which contains the neutral element 1 is called the
neutral component of the group.
In the following we will consider groups with 2, 4, 8 components.
The Euclid's group.
We can now integrate this extended, enriched group, to 2d- translation, and we get :
(75)
and the corresponding action of this Euclid's group :
(76)
Suppose we use our group to manipulate, to rule, to study alphabetic letters.
Limit the set to : A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We have several sizes :
(77) A B C D E F G J K L N P Q R S Z A B C D E F G J K L N P Q R S Z
A B C D E F G J K L N P Q R S Z
We know that we cannot find any element of the group, and a subsequent group's action, which can transform :
G into G
for their sizes are different. We decide to call their sizes *masses *so that G and G are similar to particules, objects, atoms, who own different masses. Now, depends on the group which acts on this set of objects. If I use :
(78)
assume this "world" is filled by :
(79)
with a certain spectrum of sizes (masses) and angles. If I operate group actions, whetever they are, I will never find objects which belong to the russian alphabet :
(80)
It will be possible if I take the enriched group, the Euclid's group :
(80b)
Then my "world" will become :
(81)
The group has enriched the letters' "zoo". But in my zoo, one is invariant by symmetry, i.e :
(82)
(83)
(84)
(85)
...In general, any symetry with respect to any straight line of the plane, which is a "2d mirror", does not change the "nature" of this character
(86)
I will call this character a "photon" and will assimilate the transform
(87)
to the matter anti-matter duality. Then I get a global zoo :
(88)
We could link letters of same shape (nature) but different sizes (representing their energies), using Descartes'group:
(89)
...But we are not going to build a complete analogical model of elementary particles, based on alphabetical characters. Anyway, you begin to see were we tend to go. Group have very simple aspects, but hidden properties. These properties depend on their sub-groups, which fathers species.
...Euclid's group goes with an Euclid's world, with Euclid's zoo. The animals of euclidean geometry are called sphere, cylinder, prisms, plane, straight line, triangles, en so on. The are invariant under some sub-group action. Souriau calls the sub-group linked to a an object, which belongs to a species, the **regularity **of this object.
For an example spheres centered on a given point O are invariant through the sub-group of rotations around this point.
-
We can consider that the fact to be invariant is a property of the species called "spheres centered on a point O".
-
Conversely we can consider that this property *defines *the species.