a4107
| 7 |
|---|
Snažíme se klasifikovat. Klasifikace je založena na definici druhu.
Dva objekty patřící do stejného druhu mají společnou vlastnost.
- Vyberte kouli, konkrétní kouli.
- Podívejte se na podskupinu velké skupiny (Eukleidovy grupy), která tuto kouli nechává invariantní. Souriau tento podskupinu nazývá pravidelnost koule.
- Najděte všechny objekty, které jsou invariantní vůči akci tohoto podskupiny. Zjistíte všechny koule se středem v daném bodě, včetně koule nulového poloměru: bodu.
Bod tedy patří do druhu „koulí se středem v počátku“.
Naopak:
- Vyberte bod v trojrozměrném prostoru.
- Podívejte se na podskupinu Eukleidovy grupy, která tento bod nechává invariantní. Zjistíte ortogonální grupu O(3).
- Najděte pak všechny objekty, které jsou invariantní vůči akci prvků této podskupiny při rotaci kolem tohoto bodu. Zjistíte všechny koule se středem v tomto bodě a závěrem, že tento bod i všechny tyto koule patří do stejného druhu.
Objekty jako přímka, rovina, válec atd. lze „vytvořit“ jako druh spojený s určitou konkrétní podskupinou.
...Ve fyzice chceme klasifikovat elementární částice. Ale nemůžete si částici vzít mezi palec a ukazovák a podívat se na ni lupou. Můžete pozorovat jen její chování, její pohyb.
Řekni mi, jak se pohybuješ, řeknu ti, kdo jsi.
...Mám starého přítele, Jean-Louise Philoche, který je výborný šachista. Umí hrát slepě (v češtině „hrát slepě“, bez vidění šachovnice). Stačí jen označit tah jedné figurky:
b1-c3
Pro nehráče:
(90) Tah jezdce
...Jean-Louis je schopen si to všechno zapamatovat. Nevím, jak to dělá, ale funguje to. Dokazuje to, že šachové figurky nejsou nutné k hraní (počítač je nepotřebuje).
...Představte si, že jste v místnosti a slyšíte dvě sousedy, kteří hrají „nějakou hru“. Nevidíte je, ale slyšíte, když oznámí své tahy.
b2-b3 b7-b5 atd...
...Myslíte si: pohybují něco. Jaká je tato hra? Vezmete desku, položíte na ni malé kameny a zaznamenáte jejich po sobě jdoucí tahy na papír. Označme C index sloupce a L index řádku. Tah odpovídá:
( DC , DL )
Pokud |DC| ≤ 1 a |DL| ≤ 1: odpovídá tah krále.
Pokud |DC| = |DL|: odpovídá tah střelce (po úhlopříčce).
Pokud |DC| × |DL| = 0: odpovídá tah věže.
Pokud |DC × DL| = 3: odpovídá tah jezdce.
Pokud je DL striktně kladný: jedná se o bílé pěšce. Pokud je DL striktně záporný: jedná se o černé pěšce.
A tak dále. Vytváříme klasifikaci „objektů“ na základě jejich chování.
Další přirovnání. Máte krabici s promíchanými šrouby. Chcete je třídit. Co potřebujete? Různé matice.
- Vyberte šroub.
- Najděte k němu patřící matici.
- Vyberte všechny šrouby, které do této matice pasují. Získáte druh šroubů.
**Ortogonální grupa **O(3).
...Můžeme rozšířit uvedené z 2D do 3D kontextu. Víme, jak provést rotaci v trojrozměrném prostoru kolem pevného bodu, počátku souřadnic. Závisí na třech úhlech a, b, g, tzv. Eulerových úhlech. Takovou matici nebudeme psát, jen ji označíme:
(92)
det (a) = +1
Jedná se o ortogonální matici:
(92b)
...Ortogonální grupa O(3) se skládá ze všech ortogonálních matic, včetně těch s determinantem rovným -1. Tyto matice nazýváme (93)
Stejně jako v předchozí části můžeme získat všechny ortogonální matice z SO(3) prostřednictvím:
(94)
L je diagonální matice:
(95)
(96)
Vše to je nadbytečné. Ale okamžitě ukazuje základní symetrie:
(97)
(98)
(98b)
(99)
Existují „zrcadlové matice“, které obrací orientaci objektů a převádějí je na jejich obraz v zrcadle:
(100)
Uveďte příklad orientovaného objektu, jehož orientace je touto zrcadlovou symetrií obrácena:
(101)
...Jedná se o plochu vymyšlenou Wernerem Boyem, studentem Hilberta. Na tento zajímavý objekt bude věnována zvláštní pozornost v sekci webu věnované matematice. Odstranili jsme část plochy, abychom ukázali trojnásobný bod T.
...Můžete nazvat jeden z těchto objektů „pravý“ nebo „levý“. Nikdo nikdy neoznačil, jaký je „pravý“ pohyb rotace plochy Boye. V každém případě: proč rotovat plochu Boye? Někteří tvrdí, že může létat, ale já tomu nerozumím.
Dále:
(102)
(103)
(104)
...Stejně jako v 2D geometrii (symetrie podle počátku) je symetrie podle osy x ekvivalentní rotaci o π. Nakonec:
(105)
...která mění orientaci objektů.