a4109
| 9 |
|---|
O komponentách skupiny.
O(2) je skupina složená ze dvou komponent:
- Jeho neutrální komponenta (podskupina SO(2), která obsahuje neutrální prvek 1).
- Zbytek prvků.
Pokud vytvoříme 2D euklidovskou skupinu z O(2):
(112)
tato skupina má dvě komponenty. Její neutrální komponenta je tvořena prvky SO(2).
(113)
... Nazýváme ji speciální euklidovskou skupinou: s touto skupinou nelze obrátit orientaci „písmene“, jako je R. Euklidovská skupina se dvěma komponentami se nazývá úplná skupina.
... Vzhledem ke speciální skupině, podskupině úplné euklidovské skupiny:
(114)
patří do dvou odlišných druhů, protože nelze najít žádný prvek gEO této skupiny GSE (nebo SE(2)), který by mohl převést první písmeno na druhé a naopak.
... Vzhledem k úplné skupině tyto dvě písmena patří do stejného druhu, protože existuje prvek gE skupiny GE (symetrie, která patří do druhé komponenty), který může převést jedno z těchto dvou písmen na druhé.
Stejně tak euklidovská skupina ve 3D („úplná“ euklidovská skupina):
(115)
má dvě komponenty. První, neutrální, je podskupina tvořená prvky SO(3):
(116)
... Nazýváme tuto neutrální komponentu speciální euklidovskou skupinou SE(2). Vzhledem k této skupině patří pravá a levá ruka do odlišných druhů, protože žádný prvek gSE skupiny GSE nemůže převést levou ruku na pravou a naopak.
Vzhledem k úplné skupině patří do stejného druhu.
Krátká poznámka:
Když člověk sleduje svůj obraz v zrcadle, vidí, že jeho levá a pravá ruka jsou zaměněny. Proč ale nejsou zaměněny jeho hlava a nohy?
Odpověď dává francouzský matematik J.M. Souriau:
(116b)
Další poznámka, techničtější. Z orientované euklidovské skupiny je možné sestavit úplnou euklidovskou skupinu pomocí skaláru l = ± 1
(116c)
prvky, pro které l = - 1, patří do druhé komponenty a „inverují prostor“, převádějí objekty na jejich enantiomorfní obrazy.
Rozšíření na 4D skupinu PT.
Začněme se speciální ortogonální skupinou:
(118)
a poté sestavme skupinu PT pomocí matic (4,4):
(119)
Jedná se o čtyřkomponentní skupinu (l = ± 1; m = ± 1).
Tato skupina působí na prostoročas následujícím způsobem:
(120)
Poznamenejme, že bychom to mohli napsat:
(121)
Ale nic se nezmění, protože základní akce zůstává nezměněna.
Mezi těmito čtyřmi komponentami máme neutrální komponentu, skupinu orientovanou v prostoru i čase.
(122)
Máme:
(123)
Poznamenejme, že:
(124)
gSOTO je také ortogonální matice. Ortogonální matice jsou definovány touto axiomatikou.
... Poznamenejme, že budeme velmi často používat axiomatiky vlastností speciálních matic, mnohem více než samotné matice. S pomocí skupiny SO(2) jsme napsali matice explicitně. Ale pro SO(3) a O(3) to nebudeme dělat, protože to není nutné a zkomplikovalo by výpočty. Je mnohem efektivnější a elegantnější použít axiomatiku vlastností matic skupiny.
Předem zvažme matice definované:
(125)
kde:
(126)
Ve formě diagonální matice:
(127)
Kromě toho:
(128)
Ukažte, že tyto matice tvoří skupinu.
Zvažte:
(129)
a sestavte:
(130)
Potom součin těchto obecných Lorentzových matic splňuje axiom.
Ukažte, že inverzní matice patří do skupiny:
(131)
Vypočítejte inverzní matici.
(132) (132b)
odpovídá zvláštnímu případu:
(132c)
... Tvar této matice odpovídá metrice prostoročasu (jak uvidíme znovu, s Lorentzovými maticemi, dále, při zahájení relativistického světa).
(133)
je prostoročasový vektor
Vztah odpovídá základní kvadratické formě:
(134)
s:
(134b)
což dává:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct je „chronologická proměnná“.
Toto odpovídá euklidovskému prostoročasu, kde rychlost:
(136)
je neomezená.
Index Teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
a4109
| 9 |
|---|
O komponentách skupiny.
O(2) je skupina složená ze dvou komponent:
- Její neutrální komponenta (podskupina SO(2), která obsahuje neutrální prvek 1).
- Zbytek prvků.
Pokud vytvoříme 2D euklidovskou skupinu z O(2):
(112)
tato skupina má dvě komponenty. Její neutrální komponenta je tvořena prvky SO(2).
(113)
... Nazýváme ji speciální euklidovskou skupinou: s touto skupinou nelze obrátit orientaci „písmene“, jako je R. Euklidovská skupina se dvěma komponentami se nazývá úplná skupina.
... Vzhledem ke speciální skupině, podskupině úplné euklidovské skupiny:
(114)
patří do dvou odlišných druhů, protože nelze najít žádný prvek gEO této skupiny GSE (nebo SE(2)), který by mohl převést první písmeno na druhé a naopak.
... Vzhledem k úplné skupině tyto dvě písmena patří do stejného druhu, protože existuje prvek gE skupiny GE (symetrie, která patří do druhé komponenty), který může převést jedno z těchto dvou písmen na druhé.
Stejně tak euklidovská skupina ve 3D („úplná“ euklidovská skupina):
(115)
má dvě komponenty. První, neutrální, je podskupina tvořená prvky SO(3):
(116)
... Nazýváme tuto neutrální komponentu speciální euklidovskou skupinou SE(2). Vzhledem k této skupině patří pravá a levá ruka do odlišných druhů, protože žádný prvek gSE skupiny GSE nemůže převést levou ruku na pravou a naopak.
Vzhledem k úplné skupině patří do stejného druhu.
Krátká poznámka:
Když člověk sleduje svůj obraz v zrcadle, vidí, že jeho levá a pravá ruka jsou zaměněny. Proč ale nejsou zaměněny jeho hlava a nohy?
Odpověď dává francouzský matematik J.M. Souriau:
(116b)
Další poznámka, techničtější. Z orientované euklidovské skupiny je možné sestavit úplnou euklidovskou skupinu pomocí skaláru l = ± 1
(116c)
prvky, pro které l = - 1, patří do druhé komponenty a „inverují prostor“, převádějí objekty na jejich enantiomorfní obrazy.
Rozšíření na 4D skupinu PT.
Začněme se speciální ortogonální skupinou:
(118)
a poté sestavme skupinu PT pomocí matic (4,4):
(119)
Jedná se o čtyřkomponentní skupinu (l = ± 1; m = ± 1).
Tato skupina působí na prostoročas následujícím způsobem:
(120)
Poznamenejme, že bychom to mohli napsat:
(121)
Ale nic se nezmění, protože základní akce zůstává nezměněna.
Mezi těmito čtyřmi komponentami máme neutrální komponentu, skupinu orientovanou v prostoru i čase.
(122)
Máme:
(123)
Poznamenejme, že:
(124)
gSOTO je také ortogonální matice. Ortogonální matice jsou definovány touto axiomatikou.
... Poznamenejme, že budeme velmi často používat axiomatiky vlastností speciálních matic, mnohem více než samotné matice. S pomocí skupiny SO(2) jsme napsali matice explicitně. Ale pro SO(3) a O(3) to nebudeme dělat, protože to není nutné a zkomplikovalo by výpočty. Je mnohem efektivnější a elegantnější použít axiomatiku vlastností matic skupiny.
Předem zvažme matice definované:
(125)
kde:
(126)
Ve formě diagonální matice:
(127)
Kromě toho:
(128)
Ukažte, že tyto matice tvoří skupinu.
Zvažte:
(129)
a sestavte:
(130)
Potom součin těchto obecných Lorentzových matic splňuje axiom.
Ukažte, že inverzní matice patří do skupiny:
(131)
Vypočítejte inverzní matici.
(132) (132b)
odpovídá zvláštnímu případu:
(132c)
... Tvar této matice odpovídá metrice prostoročasu (jak uvidíme znovu, s Lorentzovými maticemi, dále, při zahájení relativistického světa).
(133)
je prostoročasový vektor
Vztah odpovídá základní kvadratické formě:
(134)
s:
(134b)
což dává:
(135) ds² = dx°² + dx² + dy² + dz²
x° = ct je „chronologická proměnná“.
Toto odpovídá euklidovskému prostoročasu, kde rychlost:
(136)
je neomezená.
Index Teorie dynamických skupin