skupiny a fyzikální koadjointní akce hybnosti
| 7 |
|---|
Prvek gp grupy Poincaré Gp je určen posloupností parametrů {pi}, jejichž počet, jak jsme již řekli, představuje rozměr grupy. Matice g (g = e) je tvořena veličinami {dpi}. Takže výše uvedená aplikace je typu:
(81)
Jinými slovy, každému souboru skalárů dpi odpovídá stejný počet skalárů dpi'. Duality spočívá v předpokladu invariance skaláru podle:
(82)
kde n je rozměr grupy (deset pro grupu Poincaré). Skaláry Ji představují komponenty hybnosti, jejichž počet je stejný.
Rozhodneme se rozložit tuto hybnost J na dva objekty. První bude antisymetrická matice M typu (4,4), tedy s šesti komponentami, druhý bude „čtyřvektor“ P, matice typu (4,1):
(83)
(84) J = { M , p , E} = { M , P } Zapišme skalární součin ve tvaru:
(85)
kde Tr značí „stopa z“, a budeme dále mít:
(86)
lineární forma, jejíž invariance zaručuje dualitu.
s:
(87) (87b)
(87c)
ale GG = 1, takže to dává:
(88)
Identifikujme členy s y (89)
Tedy:
(90)
----> Zde následují detaily výpočtu maticového zápisu. Pokud chcete, kliknutím sem můžete přejít přímo k výsledku.
Ve stopě lze provést cyklickou permutaci členů.
(90a)
(90b)
(90c)
druhý člen pravé strany je roven součinu matice řádku a matice sloupce.
To je rovno stopě inverzního součinu (nyní schematicky znázorněn součin matice řádku a matice sloupce):
(90d)
Ve této stopě mohu provést cyklickou permutaci:
(90e)
Odtud:
(90f)
(90g)
Zde opět použijeme větu o stopách matic, které jsou součinem jiné matice a symetrické matice.
Každá matice může být symetrizována nebo antisymetrizována. Navíc stopa součinu matice a symetrické matice je nulová.
(90h)
Mohu toto použít na matici (90i), protože bereme stopu
(90j)
(90k) = sym ( ) + antisym ( )
ale:
(90l)
takže
(90m) (90n)
(90o)
(90p)
a:
(90q)
nakonec:
(90r)
Shrnutím a přesunutím primitiv na druhou stranu získávám svou grupovou akci:
Obrázky
