Geometrie plocha Boyova polyedrický model románská plocha Steiner

Jak převést plochu Cross Cap
na plochu Boyova (pravá nebo levá, podle výběru)
procházející románskou plochou Steiner.

Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě

../../Crosscap_Boy1.htm

27. září – 25. října 2003

Stránka 4

Představujeme model ještě z jiného úhlu pohledu:

Tabulka 14: Opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky samoprůniku. V polyedrickém modelu má tato křivka tvar tří čtverců se společným vrcholem: trojným bodem T.

Tabulka 15: Otáčením objektu získáte polyedrickou verzi plochy Boyova, kterou jsem představil v Topologiconu (kde najdete i návod na sestavení).

Poslední tabulka: Snažil jsem se ilustrovat, jak se plocha Steiner zkroutí a promění v plochu Boyova.

Zjistíme, že nakreslená „kuličkově“ si vyžaduje určitou praxi k pochopení. Naše oko se velmi obtížně vyrovnává s pochopením objektu, u kterého se na jedné vizuální ose překrývají více než dvě plochy. Zde je tedy výhoda polyedrického modelu, který umožňuje každému, pokud se jen pokusí sestavit model sám, pochopit transformace, které jsou v geometrii považovány za složité. Poznamenejme mezi závorkami, že podle zvolené dvojice vrcholových bodů získáme plochu Boyova „pravou“ nebo „levou“ (úplně libovolné definice). Projektivní rovina se vkládá do prostoru prostřednictvím dvou „antiautomorfních“ zrcadlových reprezentací. Vidíme tedy i to, že lze přejít z pravé plochy Boyova na levou prostřednictvím „středního“ modelu, kterým je románská plocha Steiner.

Bylo by určitě hezké, kdyby tyto obrázky byly publikovány v časopisech jako Pour la Science nebo La Recherche. Ale už dvacet let mi byla „zakázána“ publikace v těchto časopisech kvůli ufologickému deviaci. Děkuji, pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už jsem ztratil počet článků, které jsem těmto časopisům nabízel a které mi zdvořile odmítly. Nakonec se přivykne svému stavu „exkomunikovaného“.

Na závěr anekdoty: Existuje „Alemberův cenu“ určená k odměně autorů knih o popularizaci matematiky. Příběh mi vyprávěl člen komise, která rozhodovala, komu má být cena udělena (za to je samozřejmě peníze). Dialog:

No, proč bychom nemohli cenu dát Petitovi? Napsal významné díla jako „Géométricon“, „Trou Noir“ a „Topologicon“.
Ano, ale neudělal jen to.
Na co tedy myslíte?
Napsal i „Mur du Silence“.
Ach, no, pak...

Ano, „Mur du Silence“, vydaný v roce 1983, je album věnované MHD. A jak každý z nás ví, tato koroze má jako výhodu nebo nevýhodu, že umožňuje letícím talířům pohybovat se rychlostí přesvětelnou bez „BANG“.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

Mám v krabici skvělou verzi „převrácení krychle“, která není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Všechno je z mého vlastního klobouku. Jednoho dne...

22. říjen 2003: Na těchto stránkách se nezabýváme příliš, pokud mohu věřit počítadlu. Dne 13. října 2003 jsem vystoupil na semináři v CMI (Centru matematiky a informatiky v Château-Gombert-Marseille) na pozvání Trotmana. V té době jsem mohl představit sbírku přibližně třiceti kartonových modelů, jejichž první výstavu si jednou můžete užít, protože je fotografoval Christophe Tardy.

Při přednášce se vytváří určitá atmosféra. Na následujícím obrázku vidíte geometra, který vyjadřuje své pochybnosti.

Na pozadí část modelů vystavených s pomocí mého dlouholetého spolupracovníka Borise Koleva, člena oddělení, také geometra. V určitém okamžiku jsem položil otázku:

Kolik z vás už vidělo románskou plochu Steiner? Zvedněte ruku.

Nikdo ji nikdy neviděl. Připadlo mi tedy vhodné tuto věc představit, s použitím programu virtuální reality na notebooku, který jsem si s sebou nesl, program vypracovaný s pomocí Christophe Tardyho, inženýra, a Frédérica Descampa z institutu Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zřejmě tato prezentace zaskočila publikum, které málo zvyklé vidět matematické plochy, jak si dělají koule podle libosti.

Dvě kartonové tabulky, viditelné vpředu, umožnily představit celou posloupnost modelů v jejich logickém pořadí. Zelené a žluté modely ilustrují v polyedrické formě zásadní nástroj pro vytváření a rozkládání dvojice vrcholových bodů. Bílý objekt vzdálenější je polyedrická verze plochy Cross Cap, která se nejprve promění v polyedrickou verzi románské plochy Steiner, poté, o metr dál, podle výběru, v plochu Boyova „pravou“ nebo „levou“.

Analýza modelů vyvolává u publika různé pozorování. Jeden z geometrů se zeptal:

Pokud je pravda, že sledováním modelů v tomto pořadí lze přejít z plochy Cross Cap na plochu Boyova, zdá se, že opačným postupem by bylo možné převést plochu Boyova zpět na plochu Cross Cap.

Odpověděl jsem ano. Zvětšeným se svým partnerem dodal:

Takže pokud bychom na úrovni románské plochy Steiner zastavili, mělo by být možné se vrátit k ploše Boyova, ale zrcadlově otočené vůči původní.

Znovu jsem souhlasil. Bohužel ale nikdo se nepřihlásil, aby nějak objasnil tento zvláštní svět, kde je dovoleno, aby uzavřené plochy měly vrcholové body, které se vytvářejí nebo rozkládají po dvojicích, jejichž množina tvoří druh rozšíření světa vkládání. Slovo „summersion“ mi připadá vhodné. Pokud čtenář dokáže nějak objasnit, je vítán.

Křivka koncentrovaná v vrcholovém bodě.

Spočítáme ji sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním výsledku s hodnotou v případě eukleidovské roviny: 2p.

Vlevo nahoře vidíte jednu z mnoha možných polyedrických reprezentací vrcholového bodu. „Rozmontováním“ plochy získáme součet úhlů, který přesahuje hodnotu 2p o 2a. Z toho vyplývá, že úhlová křivka koncentrovaná kolem tohoto bodu C je -2a. Pokud je úhel a roven p/2, pak záporná křivka má hodnotu -p (obrázek vlevo dole). Ve skutečnosti může křivka vrcholového bodu nabývat nekonečně mnoho hodnot. Vpravo dole zvýrazníme součet úhlů a křivka se pak stane < -p (zvýšili jsme zápornou křivku).

Obdobně můžeme dosáhnout docela překvapivé situace: můžeme zajistit, aby křivka (úhlová) koncentrovaná v bodě C byla... nulová:

Nyní začneme s polyedrickou reprezentací plochy Cross Cap s dvěma vrcholovými body, každý s křivkou rovnou -p:

Na tomto obrázku je osm „posiconů“ s hodnotou +p/2. Přidáme čtyři další „posicony“ s křivkou +p/4 a čtyři „negacony“ s křivkou -p/4.

Plus dva vrcholové body s křivkou -p.

Celkem: 2p

Dělením této „celkové křivky“ hodnotou 2p získáme hodnotu Eulera-Poincaréovy charakteristiky libovolné reprezentace projektivní roviny (nebo plochy Boyova).

Během přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým lze prohodit dva vrcholové body plochy Cross Cap pomocí obrácení koule. Nevím už, jestli jsem to někde na svém webu uvedl. Je to taková záplata. Musím to zkusit najít, jinak to přidám. Je to zábavné. Její výsledek však nebyl příjemný jednomu z přítomných na semináři:

Nevím, proč Petit používá tolik zařízení, aby dokázal symetrii spojující dva vrcholové body plochy Cross Cap. Může to být mnohem jednodušší.

A na tabuli nakreslil obrázek zploštělé koule mezi dvěma pravítky, která se dotýkají a skutečně vytváří samoprůnik ve tvaru úsečky s vrcholovými body na koncích, jako plocha Cross Cap. Bohužel a pan, který to dělal, si toho všiml, že to není plocha Cross Cap.

Čert, co to tedy je? zeptal se někdo.

Je to jednoduše vkládání koule s dvěma vrcholovými body. Pokud je jejich spojení do jednoho bodu, vznikne samoprůnik ve tvaru kruhu. A získáme (vpravo dole) vkládání koule, které musíme jen převést do jejího standardního vložení. Můžeme také představit její polyedrickou reprezentaci:

Jedná se o dvoustrannou plochu s celkovou křivkou 2p.

Takže se můžeme s těmito „summersiony“ dobře zábavit. Zvažme vkládání toru získaného otáčením symbolu „nekonečno“ kolem osy:

Technika spojování vrcholových bodů do jednoho bodu nám umožňuje rychle dosáhnout standardního vložení toru, jak je vysvětleno výše na obrázcích v pořadí.

Ale věci nejsou vždy tak snadné a zřejmé. Zvažme například zploštělou kouli mezi dvěma úsečkami, které jsou tentokrát kratší než průměr. Získáme opět dva vrcholové body.

Protože tato plocha obsahuje Möbiovu pás, je jednostranná. Vedle ní jsme umístili její polyedrickou reprezentaci, která umožňuje výpočet její celkové křivky. Zjistíme, že je nula. Pokud se nemýlím, měla by to být Kleinova láhev. Obvykle známe pouze její klasické vkládání, u něhož je samoprůnik jednoduchým kruhem. Ale existují i jiné, jako tato. Přiznávám, že jsem stále neobjevil způsob, jak ji převést na běžnou Kleinovu láhev. Navíc nevím ani, zda tato „vkládání“ a klasické vkládání patří do stejné třídy homotopie (pro kouli například existuje jen jedna). A priori to není jisté: torus lze totiž v trojrozměrném prostoru vkládat čtyřmi různými způsoby, které nelze převést jeden na druhý pomocí regulární homotopie. Zatím nevím, zda je toto možné, a zabavil jsem se tím, že jsem přidal dva další vrcholové body, čímž jsem získal dvě plochy Cross Cap spojené trubkou. Rozložením zjistíme, že Eulera-Poincaréova charakteristika je nula.

Tato zvláštní plocha by měla přejít do jedné z čtyř možných vkládání Kleinovy láhve, ale které? V každém případě tady je jedna získaná otáčením osmičky kolem osy, přičemž sama přitom koná půl otáčku kolem sebe:

Předchozí stránka

Zpět na obsah „Přeměna Cross Cap na Boy“

Zpět na sekci Novinky Zpět na sekci Průvodce Zpět na hlavní stránku

Počet návštěv od 25. listopadu 2004: