Geometrie ploch matematické modely

Jak přeměnit plochu Cross Cap na plochu Boya (pravá nebo levá, podle výběru)

procházející Steinerovou románskou plochou.

Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě

../../Crosscap_Boy1.htm

27. září – 25. října 2003

Stránka 4

Představujeme model z dalšího pohledu:

Tabulka 14: Opakujeme stejnou operaci a vytváříme třetí „ucho“ křivky sebevzájemného překryvu. V polyedrickém modelu má tato křivka tvar tří čtverců se společným vrcholem: trojným bodem T.

Tabulka 15: Otáčením objektu získáte polyedrickou verzi plochy Boya, kterou jsem představil v Topologiconu (kde najdete i návod na sestavení, který vám umožní ji postavit).

Poslední tabulka: Snažil jsem se ilustrovat Steinerovu plochu, jak se zakroucením mění na plochu Boya.

Zjistíme, že když je nakreslena „kuličkově“, potřebuje se k jejímu pochopení hodně cvičení. Naše oko se velmi obtížně vyrovnává s pochopením objektu, u kterého se na jedné vizuální přímce překrývají více než dvě plochy. Z toho vyplývá zájem o polyedrický model, který umožňuje každému, pokud se pokusí sám postavit modelky, pochopit transformace, které jsou v geometrii považovány za složité. Všimněme si, že podle zvolené dvojice vrcholových bodů získáme plochu Boya „pravou“ nebo „levou“ (úplně libovolné definice). Projektivní rovina se vkládá do prostoru prostřednictvím dvou „antiautomorfních“ zrcadlově symetrických reprezentací. Vidíme tedy, že lze přejít z pravé plochy Boya na levou plochu Boya prostřednictvím „středního“ modelu, kterým je Steinerova románská plocha.

Bylo by určitě hezké, kdyby tyto obrázky byly publikovány v časopisech jako Pour la Science nebo La Recherche. Ale už dvacet let mi je „zakázáno“ publikovat v těchto časopisech kvůli ufologickému deviaci. Děkuji, pánové Hervé This a Philippe Boulanger. Už jsem zapomněl, kolik takových článků jsem navrhoval těmto časopisům a byl jsem jim zdvořile odmítnut. Nakonec se zvykne na svůj stav „exkomunikovaného“.

Na závěr anekdoty: Existuje tzv. „Alembertův cenu“ určená k odměně autora knihy o popularizaci matematiky. Příběh mi vyprávěl člen výboru, který rozhodoval o udělení ceny (přestože za tím stojí peníze). Dialog:

• No, proč bychom nemohli cenu dát Petitovi? Napsal významné díla jako „Géométricon“, „Trou Noir“ a „Topologicon“.

• Ano, ale neudělal jen to.

• Na co tím myslíte?

• Napsal i „Mur du Silence“.

• Ach, no tak...

Ano, „Mur du Silence“, vydáno v roce 1983, je album věnované MHD. A jak každý z nás ví, tato korozivní věda má za výhodu, nebo za nedostatek, že umožňuje letícím diskům pohybovat se rychlostí přesvětelnou bez výbuchu.

« Cachez cette science, que je ne saurais voir »

V mých krabicích mám magnifickou verzi „převrácení krychle“, která není polyedrickou verzí Morinovy varianty. Všechno je moje. Jednoho dne...

22. října 2003: Na těchto stránkách se nezabíjíme příliš, pokud věřím počítadlu. V pondělí 13. října 2003 jsem v CMI (Centrum matematiky a informatiky v Château-Gombert-Marseille) přednášel na pozvání Trotmana. V té době jsem mohl představit sbírku přibližně třiceti kartonových modelů, jejichž první ukázku si jednou budete moci užít, protože je fotografoval Christophe Tardy.

Při přednášce se vytvoří určitá atmosféra. Na následujícím obrázku vidíte geometra, který vyjadřuje své pochybnosti.

Na pozadí část modelů vystavených s pomocí mého dlouholetého spolupracovníka, Borise Koleva, člena oddělení, také geometra. V určitém okamžiku jsem položil otázku:

• Kolik z vás už vidělo románskou plochu Steinerovu? Zvedněte ruku.

Nikdo ji nikdy neviděl. Považoval jsem tedy za užitečné představit tento objekt s programem virtuální reality na notebooku, který jsem si s sebou nesl, program vypracovaný s pomocí Christophe Tardyho, inženýra, a Frédérica Descampa z Institut Laue Langevin v Grenoble (ILL). Zřejmě tato prezentace zaskočila publikum, které málo zvyklé vidět matematické plochy, jak si dělají kouzelné obraty.

Dvě kartonové tabulky, viditelné v popředí, umožnily představit celou posloupnost modelů v jejich logickém pořadí. Zelené a žluté modely ilustrují v polyedrické podobě zásadní nástroj pro vytváření a rozkládání dvojice vrcholových bodů. Nejvzdálenější bílý objekt je polyedrická verze plochy Cross Cap, která se nejprve promění na polyedrickou verzi Steinerovy románské plochy, poté, o metr dál, podle výběru, na plochu Boya „pravou“ nebo „levou“.

Analýza modelů vyvolává u publikum různé poznámky. Jeden z geometrů se zeptal:

• Pokud je pravda, že sledováním modelů v tomto pořadí lze přejít z plochy Cross Cap na plochu Boya, zdá se, že opačným postupem lze přeměnit plochu Boya na plochu Cross Cap.

Odpověděl jsem ano. Odvážněji pokračoval můj rozhovor:

• Pokud bychom na úrovni Steinerovy románské plochy zastavili, mělo by být možné se vrátit zpět na plochu Boya, ale zrcadlově otočenou vzhledem k původnímu stavu.

Znovu souhlasil. Bohužel ale nikdo se nepřihlásil, aby nějak vysvětlil tento zvláštní svět, ve kterém se povoluje, aby uzavřené plochy měly vrcholové body, které se vytvářejí nebo rozpadají po dvojicích, jejichž soubor tvoří druhou rozšířenou variantu světa vkládání. Slovo „summersion“ mi připadá vhodné. Pokud čtenář dokáže nějak vysvětlit, je vítán.

Zkreslení koncentrované v jednom vrcholovém bodě.

Vypočteme jej sečtením úhlů ve vrcholu a porovnáním s výsledkem v případě eukleidovské roviny: 2p.

Vlevo nahoře můžete vidět jednu z mnoha možných polyedrických reprezentací vrcholového bodu. „Rozmontováním“ plochy získáme součet úhlů, který přesahuje hodnotu 2p o 2a. Z toho vyplývá, že úhlová křivost koncentrovaná kolem tohoto bodu C je -2a. Pokud je úhel a roven p/2, pak záporná křivost je -p (obrázek vlevo dole). Ve skutečnosti může křivost vrcholového bodu nabývat nekonečně mnoha hodnot. Vpravo dole zvýrazníme součet úhlů a křivost se pak stane < -p (zvýšili jsme zápornou křivost).

Obdobně můžeme dosáhnout poměrně překvapivé situace: můžeme zajistit, aby křivost (úhlová) koncentrovaná v bodě C byla ... nulová:

Nyní začneme s polyedrickou reprezentací plochy Cross Cap s dvěma vrcholovými body, každý s křivostí rovnou -p:

V tomto obrázku je osm „posiconů“ s hodnotou +p/2. Přidáme čtyři další „posicony“ s křivostí +p/4 a čtyři „negacony“ s křivostí -p/4.

Plus dva vrcholové body s křivostí -p.

Celkem: 2p

Dělením této „celkové křivosti“ hodnotou 2p získáme hodnotu Eulerovy-Poincaréovy charakteristiky jakékoli reprezentace projektivní roviny (nebo plochy Boya).

Během přednášky jsem zmínil umění a způsob, jakým můžeme prohodit dva vrcholové body plochy Cross Cap pomocí obrácení koule. Už nevím, jestli jsem to někde na svém webu uvedl. Je to taková záplata. Musím to zkusit najít, jinak to přidám. Je to zábavné. Fakt je, že tato operace se nepovedla jednomu z přítomných na přednášce:

• Nevím, proč Petit používá takovou techniku, aby ukázal symetrii mezi dvěma vrcholovými body plochy Cross Cap. Lze to udělat mnohem jednodušeji.

A na tabuli nakreslil kouli stlačenou mezi dvěma pravítky, které se dotýkají a skutečně vytvářejí křivku sebevzájemného překryvu ve tvaru úsečky, jejíž konce jsou dva vrcholové body, jako u plochy Cross Cap. Bohužel a ten pán si toho všiml, tato plocha není plocha Cross Cap.

• Proboha, co to tedy je? zeptal se někdo.

Je to jednoduše vkládání koule s dvěma vrcholovými body. Pokud je jejich spojení do jednoho bodu, vznikne přímka sebevzájemného překryvu, která se stane kružnicí. A získáme (vpravo dole) vkládání koule, které potřebujeme jen převést do standardního vnoření. Můžeme také uvést polyedrickou reprezentaci této plochy:

Jedná se o dvoustrannou plochu s celkovou křivostí 2p.

Takže se můžeme s těmito „summersiony“ dobře zábavit. Zvažme vkládání toru získané otáčením symbolu „nekonečno“ kolem osy:

Technika spojení vrcholových bodů do jednoho bodu nám umožňuje rychle dosáhnout standardního vnoření toru, jak je vysvětleno výše na obrázcích v pořadí.

Ale věci nejsou vždy tak jednoduché a zřejmé. Zvažme například kouli stlačenou mezi dvěma úsečkami, které jsou tentokrát kratší než průměr. Získáme opět dva vrcholové body.

Protože tato plocha obsahuje Möbiovu pásku, je jednostranná. Vedle ní jsme připojili její polyedrickou reprezentaci, která umožňuje výpočet její celkové křivosti. Zjistíme, že je nula. Pokud se nemýlím, mělo by to být Kleinova láhev. Obvykle známe pouze její klasické vkládání, kde se čára sebevzájemného překryvu skládá z jednoduché kružnice. Ale existují i jiné, jako tato. Uznávám, že jsem stále nenašel způsob, jak ji převést na běžnou Kleinovu láhev. Navíc nevím ani, zda tato „vkládání“ a klasické vkládání patří do stejné třídy homotopie (například pro kouli existuje jen jedna). A priori to není jisté: torus lze totiž v trojrozměrném prostoru vkládat čtyřmi různými způsoby, které nelze převést jeden na druhý pomocí regulární homotopie. Dokud nezjistím, zda je to možné, zábavu jsem si užil tím, že jsem ji převedl na dvě plochy Cross Cap spojené trubkou. Rozložením zjistíme, že Eulerova-Poincaréova charakteristika je nula.

Tato zvláštní plocha by měla přejít do jedné z čtyř možných vkládání Kleinovy láhve, ale které? V každém případě tady je jedna, která vznikla otáčením osmičky kolem osy, přičemž sama přitom dělá půl otočku:

Předchozí stránka

Zpět na obsah „Přeměna Cross Cap na Boy“

Zpět na sekci Novinky Zpět na sekci Průvodce Zpět na hlavní stránku

Počet návštěv od 25. listopadu 2004:

Obrázky