Topologie koule matematické modely
Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
Klikněte sem, abyste zobrazili model v měřítku 1:1, který můžete vytisknout a vystřihnout.
Čtyři kopie vytisknuté na barevném kartonu různých barev vám umožní sestavit model sami podle pokynů k jeho sestavení.
Určitě jste viděli zvláštní objekt, který neustále rotuje na levé straně úvodní stránky tohoto webu. O čem jde?
Jednoho dne, až najdu čas, na tento web nainstaluji popis obrácení koule, jak jsem jej ilustroval v čísle Pour la Science z ledna 1979, tedy... před 22 lety! To bude vyžadovat mnoho detailů a úvod. Co znamená „obrátit kouli“? Pro běžného člověka je koule jen množina bodů ve vesmíru, které mají od pevně daného bodu O vzdálenost R. Geometr však bude i nadále nazývat „koulí“ i objekt, který odpovídá „deformované kouli“, například bramborě. Pro přesnější pochopení těchto konceptů si pořiďte CD Lanturlu obsahující komiksy „Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Povrch se nazývá „pravidelný“, pokud v každém bodě lze definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho možných pravidelných deformací koule ve všech možných tvarech brambor, přičemž lze libovolně měnit i plochu tohoto povrchu. Přesto v našem fyzickém vesmíru by člověk, který by se pokusil obrátit kouli (tj. převést její vnitřní povrch ven), narazil na nemožnost, aby se povrch prošel sám sebou. Když se předpokládá tato hypotéza, tedy když se zakazuje, aby se povrch prošel sám sebou nebo dokonce jen „dotýkal“, matematik mluví o vložení koule S2. Matematik však vždy může všechno. Koule je pro něj „virtuální“ objekt, nikoli hmotný, kde procházení ploch je považováno za možné. Posloupnost obrázků níže ukazuje kouli, která se prochází sama sebou. Takové znázornění, které umožňuje samoprůniky, se nazývá „ponoření“.
Ponoření tedy má množinu samoprůniků (zde jde o jednoduchou kruhovou křivku). Tečná rovina však musí být spojitá. Přesto, když se podíváte na obrázek výše, vidíte, že operace přesune část vnitřního povrchu (znázorněného zeleně) ven. Pro dokončení obrácení by bylo třeba zploštit tento druh „rovníkového střevního úseku“. Zdá se, že zde je problém: takové zploštení by porušilo spojitost tečné roviny a tato transformace by tedy zahrnovala krok, který není ponořením.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S2 má jedinou třídu ponoření“. Tato záhadná věta měla za následek, že by bylo možné přejít prostřednictvím transformace, která obsahuje pouze skutečná ponoření, z „standardní“ koule do její „antipodální“ reprezentace, tedy do reprezentace, kde každý bod je vyměněn s jeho antipodálním bodem: řečeno jednoduše... obrácená koule. Raoul Bott byl šéfem Smalea. I když formální důkaz tohoto faktu vypadal správně, nikdo nebyl schopen konkrétně realizovat tuto operaci obrácení. Bott stále žádal Smalea: „Ukažte mi, jak byste postupoval“; Smale, známý svou přímou řečí, odpovídal: „Nemám tušení“. Smale později získal Fieldovu medaili, což je v matematice ekvivalent Nobelovy ceny. K tomu si možná položíte otázku, proč neexistuje Nobelova cena pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho manželka utekla s matematikem.
Věci zůstaly tak dlouho, až americký matematik Anthony Phillips v roce 1967 v Scientific American publikoval první verzi tohoto obrácení, extrémně složitou. Druhá byla vynalezena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (nevidoucím) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo nakreslil posloupnost transformací, která bude předmětem, jak jsem vám oznámil, příštího článku na tomto webu, a to velmi rozsáhlého. Nicméně všechno to nás přivádí k jedné úvaze. Povrchy lze znázornit v polyedrické podobě. Krychle nebo čtyřstěn mohou být považovány za polyedrické reprezentace koule v tom smyslu, že tyto objekty mají stejnou topologii. Na tomto bodě se podívejte do mého Topologicon. Kromě toho je zřejmé, že pokud je možné obrátit kouli, bude stejně možné obrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku z ledna 1979 v Pour la Science) prochází centrálním modelem. V této posloupnosti existuje symetrie. Tuto symetrii nazývám „centrální model s čtyřmi ušima“. Předem vám to říkám. Nicméně, stejně jako koule se dá znázornit polyedricky, stejně tak platí pro další kroky této transformace. To, co vidíte rotovat na mé úvodní stránce, je polyedrická verze centrálního modelu obrácení koule, který jsem vynalezl před deseti lety. Zajímavostí těchto polyedrických modelů je, že lze sestavit z rovinných ploch. Lze je také sestavit z papíru a nůžek. Podívejte se na následující obrázek (děkuji mezi závorkami mému příteli Christophe Tardy, který vytvořil prvky přesné velikosti).
Je to náčrt sestavení, který máte zde zobrazovaný v celku. Ale pro tisk je vhodnější přejít na stránku découpage. Vytiskněte ji. Poté, vybaveni tímto vytisknutým exemplářem na běžném papíru vaší tiskárny, vytiskněte čtyři identické kopie, dvě na zeleném kartonu a dvě na žlutém. Budete schopni pomocí těchto vystříhaných listů sestavit centrální model obrácení krychle.
Na vystříhaných dílcích jsou páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí přehnout list tak, aby se stejná písmena překryla, a pak plochy spojit páskou. Následující obrázky ukazují způsob sestavení jednoho ze čtyř dílců. Nejprve je třeba správně začít přehýbat jeden ze čtyř prvků:
Zde jsou dva ze čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Tyto prvky se pak uspořádají tak, aby vznikl objekt se čtyřnásobnou symetrií, přičemž se střídají zelené a žluté části. Pro vidění ve 3D se podívejte na realizaci Tardy v sekci „virtuální realita“. Centrální model je sestaven a dokonce vytvořen v „vrml“ v této sekci. Zde je znázorněn z různých úhlů:
Není možné říct, že jeden pohled odpovídá „nahoře“ a druhý „dole“, protože tyto označení jsou naprosto libovolné. V levém obrázku odpovídá „středový“ bod „dvojitému bodu“ (kde se dvě plochy protínají) centrálního modelu Morin, zatímco středový bod vpravo odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ toho samého modelu (kde se protínají čtyři plochy). Musel jsem objekt velmi pečlivě orientovat, aby levý obrázek nevyvolával dojem svastiky. Kromě toho, z hlediska architektonického, tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morin by mohla být skvělým projektem pro Národní kultura socialistického domu.
Poslední poznámka: neexistuje dobrá polyedrická reprezentace obrácení koule (nebo krychle). „Dobrá“ zde znamená posloupnost modelů dostatečně explicitních, které lze popsat jako vystříhané listy relativně snadno, jako je tento model výše. Bylo by vhodné provést studii v tomto směru, která by byla dostupná každému, i ne-matematikovi, například sochaři. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na Ecole des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, když byl ředitelem můj milý přítel Jacques Boullier. V těchto prostorách vznikla první meridionální reprezentace povrchu Boy pomocí elips, klíčová pro konstrukci první implicitní rovnice dané Apéry. Musím říct, že už tehdy jsem byl překvapen geometrickou představivostí studentů umění, která často překonávala představivost... geometrů.
Počítadlo nainstalováno 31. prosince 2001. Počet připojení:
Navrátit se na stránku Novinky Úvodní stránka
Obrázky
