Topologie koule matematické modely
Italština: Andrea Sambusetti, univerzita v Římě
Klikněte sem, abyste zobrazili model v měřítku 1:1, který můžete vytisknout a vystřihnout.
Pokud si vytisknete čtyři kopie na kartonu dvou různých barev, můžete si model sám sestavit podle pokynů pro sestavení.
Určitě jste viděli, jak se na levé straně úvodní stránky tohoto webu neustále otáčí podivný objekt. O čem jde?
Jednoho dne, až najdu čas, na tento web přidám popis obrácení koule, jak jsem jej ilustroval v čísle Pour la Science z ledna 1979, tedy... už před 22 lety! To bude vyžadovat mnoho podrobností a úvodního vysvětlení. Co znamená „obrátit kouli“? Pro běžného člověka je koule prostě množina bodů ve vesmíru, které mají od pevně zvoleného bodu O vzdálenost R. Geometr však bude i nadále nazývat „koulí“ i objekty, které odpovídají „deformované kouli“, například bramborě. Pro přesnější pochopení těchto pojmů si pořiďte CD Lanturlu obsahující komiksy „Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Povrch se nazývá „pravidelný“, pokud v každém jeho bodě lze definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho možných pravidelných deformací koule ve všech možných formách brambor a přitom libovolně měnit plochu tohoto povrchu. Přesto v našem fyzickém vesmíru člověk, který by se pokoušel obrátit kouli (tj. převést její vnitřní povrch na vnější stranu), narazí na nemožnost, aby se povrch prošel sám sebou. Při předpokladu, že se povrch nesmí procházet sám sebou ani jen dotýkat, matematik mluví o vložení (embedding) koule S2. Matematik však vždy může všechno. Koule je pro něj „virtuální“ objekt, nikoli hmotný, a proto je pro něj možné procházení ploch. Posloupnost obrázků níže ukazuje kouli, která se prochází sám sebou. Taková reprezentace, která umožňuje samoprocházení, se nazývá „ponoření“ (immersion).
Ponoření tedy má množinu samoprůniků (zde jde o jednoduchou kružnici). Tečná rovina však musí být spojitá. Když se podíváte na obrázek výše, vidíte, že operace přesune část vnitřního povrchu (vyobrazeného zeleně) ven. Pro dokončení obrácení by bylo třeba „stlačit“ tento druh „rovníkového hada“. Zdá se, že zde je problém: toto stlačení by narušilo spojitost tečné roviny a tato transformace by tedy obsahovala krok, který není ponořením.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S2 má pouze jednu třídu ponoření“. Tato záhadná věta měla za následek, že by bylo možné přejít, prostřednictvím transformace, která obsahuje pouze skutečná ponoření, od „standardní“ koule k jejímu „antipodálnímu“ zobrazení, kdy každý bod odpovídá svému antipodálnímu bodu: řečeno jednoduše... obrácená koule. Raoul Bott byl Smaleovým šéfem. I když formální důkaz tohoto faktu vypadal správně, nikdo nebyl schopen konkrétně realizovat tuto operaci obrácení. Bott stále žádal Smalea: „Ukaž mi, jak bys postupoval“; Smale, známý svou přímou řečí, odpovídal: „Nemám tušení“. Smale později získal Fieldovu cenu, což je v matematice ekvivalent Nobelovy ceny. K tomu si možná položíte otázku, proč neexistuje Nobelova cena pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho manželka utekla s matematikem.
Věci zůstaly tak po dlouhou dobu, dokud americký matematik Anthony Phillips v roce 1967 v Scientific American nezveřejnil první verzi tohoto obrácení, velmi složitou. Druhá verze byla vytvořena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (nepohledným) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo nakreslil posloupnost transformací, která bude předmětem, jak jsem vám oznámil, příštího článku na tomto webu, a to velmi rozsáhlého. Nicméně všechno to nás přivádí k jedné úvaze. Povrchy lze reprezentovat v polyedrické formě. Krychle nebo čtyřstěn mohou být považovány za polyedrické reprezentace koule v tom smyslu, že tyto objekty mají stejnou topologii. Na tento bod se podívejte v mé knize Topologicon. Navíc je zřejmé, že pokud je možné obrátit kouli, bude stejně možné obrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku z ledna 1979 v Pour la Science) prochází centrálním modelem. V této posloupnosti existuje symetrie. Jmenuji ji „centrální model s čtyřmi ušima“. Předčasně vám to sděluji. Nicméně, stejně jako koule se dá reprezentovat polyedricky, stejně tak platí pro následující kroky této transformace. Co vidíte na mé úvodní stránce se otáčí, je polyedrická verze centrálního modelu obrácení koule, kterou jsem vynalezl před deseti lety. Zajímavostí těchto polyedrických modelů je, že lze sestavit z rovinných ploch. Lze je také sestavit z papíru a nůžek. Podívejte se na následující obrázek (děkuji mezi závorkami mému příteli Christophe Tardy, který vyrobil prvky přesné velikosti).
Je to náčrt sestavení, který máte zde v obecném pohledu. Ale pro tisk je vhodnější přejít na stránku „vystřihování“. Vytiskněte ji. Poté, vybaveni tímto vytisknutým exemplářem na běžném papíru z vaší tiskárny, si vytiskněte čtyři identické kopie – dvě na zeleném kartonu a dvě na žlutém. Pomocí těchto vystříhaných listů budete schopni sestavit centrální model obrácení krychle.
Na vystříhaných částech jsou páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí přehnout list tak, aby se stejná písmena spojila, a pak plochy spojit páskou. Následující obrázky ukazují způsob, jak sestavit jeden ze čtyř dílů. Nejprve je třeba začít přehýbat jeden ze čtyř prvků:
Zde jsou dva z čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Tyto díly se následně uspořádají tak, aby vznikl objekt s čtyřnásobnou symetrií, přičemž se střídají zelené a žluté části. Abyste ho viděli v 3D, podívejte se na realizaci Tardy v sekci „virtuální realita“. Centrální model je tam sestaven a dokonce realizován ve formátu „vrml“. Zde je znovu zobrazen z různých úhlů:
Není možné říct, že jeden pohled odpovídá „nahoře“ a druhý „dole“, protože tyto označení jsou naprosto libovolné. V levém obrázku odpovídá „střední“ bod „dvojitému bodu“ (kde se dvě plochy protínají) centrálního modelu Morin, zatímco střední bod pravého obrázku odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ toho samého modelu (kde se protínají čtyři plochy). Musel jsem objekt velmi pečlivě orientovat, aby levý obrázek nevyvolával dojem kříže. Kromě toho, z hlediska architektury by tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morin mohla být skvělým projektem pro Národní kultura socialistického domu.
Poslední poznámka: neexistuje dobrá polyedrická reprezentace obrácení koule (nebo krychle). „Dobrá“ zde znamená posloupnost modelů dostatečně explicitních, které lze popsat jako vystříhané listy relativně snadno, jako je tento model. Bylo by vhodné provést studii v tomto směru, která by byla přístupná každému, i ne-matematikovi, například socháři. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na Ecole des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, když byl ředitelem můj milý přítel Jacques Boullier. V těchto prostorách vznikla první jihovýchodní reprezentace povrchu Boy pomocí elips, klíčová pro konstrukci první implicitní rovnice, kterou dal Apéry. Musím říct, že už tehdy jsem byl překvapen geometrickou představivostí studentů umění, která často přesahovala představivost... geometrů.
Počítadlo nainstalováno 31. prosince 2001. Počet připojení:
Navrátit se na stránku Novinky Úvodní stránka
Obrázky
