Centrální model (polyedrický) převrácení krychle
Centrální model převrácení krychle
- prosinec 2001
Všichni jste viděli, jak se neúnavně otáčí podivný předmět v levé části úvodní stránky webu. O čem jde?
Jednoho dne, až budu mít čas, na webu přidám popis převrácení koule, jak jsem jej ilustroval v čísle ledna 1979 časopisu Pour la science, tedy už... 22 let zpět. To vše by samozřejmě vyžadovalo mnoho detailů a úvodu. Co znamená převrátit kouli? Koule má pro běžného člověka jiný význam než pro matematika-geometra. Pro běžného člověka je koule v trojrozměrném prostoru množina všech bodů vzdálených vzdálenost R od pevného bodu O tohoto prostoru. Geometr bude nadále nazývat „koulí“ objekt, který by odpovídal „deformované kouli“, nějaké „bramborě“. Pro přesnější pochopení těchto pojmů si pořiďte CD Lanturlu s komiksem „Le Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Když je plocha „hladká“, můžeme v každém jejím bodě definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho deformací „původní koule“ do nekonečně mnoha „brambor“, a to i tehdy, když je plocha libovolná. V reálném fyzikálním světě by však člověk, který deformuje tuto kouli, narazil na nemožnost její vlastní procházení. Pokud jsou procházení nebo dokonce dotyk zakázány, mluvíme pak o vložení koule S². Matematik si však dovolí všechno. Koule je pro něj „virtuální“ objekt, kde procházení ploch je možné. Následující obrázky ukazují kouli, která se „prošla sama sebou“. Takové znázornění koule se pak nazývá „vložení“.
Vložení má množinu samoprůniků nebo self-intersections (zde jednoduchá kruhová křivka). Tečná rovina se musí spojitě měnit. Když se však podíváte na výše uvedené obrázky, vidíte, že operace opravdu převrací část (vyjádřenou zelenou barvou) vnitřku koule ven. Aby byl tento převrácení dokončen, bylo by třeba „ztlouct“ tento druh „pásku“ na rovníku. To se zdá na první pohled problematické. Toto ztloucní by porušilo spojitost tečné roviny. Operace by tedy zahrnovala krok, který není vložením.
Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S² má pouze jednu třídu vložení“. Důsledkem této záhadné věty bylo, že by bylo možné spojit posloupnost vložení koule, která by umožnila přejít od „standardní koule“ k jejímu „antipodálnímu“ znázornění, tedy k takovému, kde by všechny body byly nahrazeny jejich antipodálními body. Jinými slovy... koule převrácená, zpět na přední stranu. Raoul Bott byl Smaleovým šéfem. Ačkoli Smaleův důkaz, čistě formální, se zdál nezpochybnitelný, nikdo neviděl, jak by se mělo takové převrácení provést. Bott neustále říkal Smaleovi: „Ukažte mi, jak byste to provedl“, na což Smale s jeho slavným vláskem na jazyku odpovídal: „Nemám tušení.“ Smale později získal Fieldovu medaili, což je pro matematiku ekvivalent Nobelovy ceny. Mezitím se možná ptáte, proč Nobel nikdy nevytvořil Nobelovu cenu pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho manželka utekla s matematikem.
Věci zůstaly v tomto stavu po mnoho let, dokud americký matematik Anthony Phillips v roce 1967 v Scientific American nezveřejnil první verzi tohoto převrácení, která byla strašně složitá. Druhá verze byla vynalezena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (němým) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo tuto posloupnost transformací nakreslil, což, jak jsem již řekl, bude předmětem příštího článku na webu, který je však poměrně rozsáhlý. Výsledkem je však vedlejší závěr. Plochy mohou být znázorněny polyedricky. Krychle nebo čtyřstěn mohou být považovány za polyedrické znázornění koule, pokud mají stejnou topologii. V této věci se podívejte na mé komiksy „Le Topologicon“. Navíc je zřejmé, že pokud je možné převrátit kouli, je možné převrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku ledna 1979 v Pour la science) prochází centrálním modelem. V této posloupnosti existuje symetrie. Takový model se nazývá „centrální model se čtyřmi ušima“. Znovu předem. Ale stejně jako koule může být znázorněna polyedricky, tak i jednotlivé kroky těchto transformací mohou být znázorněny polyedricky. Předmět, který se otáčí na mé úvodní stránce, je tedy polyedrická verze centrálního modelu převrácení koule, model, který jsem vynalezl před deseti lety. Výhodou těchto polyedrických modelů je, že je lze sestavit z rovinných ploch. Lze je dokonce uspořádat podle výřezů. Podívejte se na následující obrázek (předem děkuji mému příteli Christophe Tardy, který vytvořil správně označené prvky).
Toto je obrázek, který by se vytiskl v malém formátu a nebyl použitelný.
Pro tisk na list A4 Je třeba jej vytisknout čtyřikrát na silný papír A4, dvě listy jednou barvou, dvě listy druhou barvou.
Jedná se o výřez, který vidíte v obecném pohledu. Ale pro tisk je vhodnější přejít na stránku výřez. Vytiskněte ji. Poté, vybaveni tiskem na běžném papíru z vaší tiskárny, jděte do kancelářského centra a vytiskněte čtyři identické kopie tohoto obrázku, dvě na zeleném kartonu a dvě na žlutém. Budete schopni sestavit centrální model převrácení krychle pomocí tohoto výřezu.
Na těchto vystřižených částech najdete páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí, když provedete záhyby tak, aby stejná písmena splynula, a poté tyto části spojíte pomocí průhledného lepicího pásu. Následující obrázky ukazují, jak sestavit jeden z čtyř prvků. Nejprve je třeba správně začít záhyb jednoho z čtyř prvků:
Zde jsou dva z těchto čtyř prvků, viděné z různých úhlů.
Tyto prvky se pak spojují do objektu s čtyřnásobnou symetrií nebo se střídají zelené a žluté prvky. Pro 3D pohled si podívejte realizace pana Tardy ve „virtuální realitě“. Celý sestavený centrální model je také k dispozici ve formátu „vrml“ v této sekci. Tento objekt je viděn z různých úhlů:
Není možné říct, že jedna pohled odpovídá „nahoře“ a druhá „dole“, protože tyto označení by byly zcela libovolné. V levém pohledu odpovídá „středový“ bod „dvojitému bodu“ (kde se dvě plochy protínají) centrálního modelu Morin, zatímco středový bod vpravo odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ toho samého modelu (kde se protínají čtyři plochy). Musel jsem velmi pečlivě orientovat objekt, aby levý obrázek nevyvolával představu kříže gama. Jinak by tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morin mohla být architektonicky velmi vhodná pro návrh budovy národní kultury socialistického státu.
Poslední pohled:
Poslední poznámka: Neexistuje dobrá polyedrická reprezentace převrácení koule (nebo převrácení krychle). „Dobrá“ zde znamená posloupnost modelů dostatečně vysvětlivých, které lze snadno sestavit jako výřezy, jako je výše uvedený model. Výzkum v tomto směru by byl vhodný pro každého, i pro ne-matematika, například pro plastika. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na škole výtvarných umění v Aix-en-Provence, když byla stále řízena mým skvělým přítelem Jacquesem Boullierem. V těchto prostorách vznikla první meridiánová reprezentace plochy Boy pomocí elips, klíč k konstrukci první implicitní rovnice Apéryho. Musím říct, že v té době jsem byl vždy překvapen výkonností geometrické představivosti studentů umění, která často přesahovala představivost... geometrů.
Počítadlo inicializováno 31. prosince 2001. Počet připojení:
Virtual Reality Zpět k novinkám
Obrázky
