Centrální model (mnohostěnný) převrácení krychle

Centrální model (polyedrický) obrácení krychle

Centrální model obrácení krychle

31. prosince 2001

Všichni jste viděli, jak se neúnavně otáčí podivný předmět na levé straně úvodní stránky webu. O čem jde?

Jednoho dne, až budu mít čas, na webu přidám popis obrácení koule, jak jsem jej ilustroval v časopise Pour la science z ledna 1979, tedy už před... 22 lety. To samozřejmě vyžaduje mnoho detailů a úvodu. Co znamená obrátit kouli? Pro běžného člověka je koule v trojrozměrném prostoru množina bodů vzdálených vzdálenost R od pevného bodu O. Geometr bude nadále nazývat „koulí“ objekt, který by odpovídal „deformované kouli“, tedy něco jako „brambora“. Pro přesnější pochopení těchto pojmů si pořiďte CD Lanturlu s komiksem „Le Topologicon“. Matematik však jde ještě dál. Když je plocha „hladká“, lze v každém jejím bodě definovat tečnou rovinu. To už umožňuje představit si nekonečně mnoho deformací „původní koule“ do nekonečně mnoha „brambor“, přičemž plocha může mít libovolný obsah. V reálném světě by však člověk, který deformuje kouli, narazil na nemožnost její vlastní procházení. Pokud je procházení nebo dokonce dotyk zakázán, mluvíme o „vložení“ koule S2. Matematik však má všechna práva. Pro něj je koule „virtuální“ objekt, kde procházení ploch je možné. Následující obrázky ukazují kouli, která se „prošla sama sebou“. Takové znázornění se pak nazývá „vnoření“.

Vnoření má množinu vlastních průsečíků nebo samoprůniků (zde jednoduchá kružnice). Tečná rovina se musí spojitě měnit. Přesto, když se podíváte na obrázky výše, vidíte, že operace opravdu převrací část (vyjádřenou zelenou barvou) vnitřku koule ven. Pro dokončení takového obrácení by bylo třeba „ztlouct“ tento druh „pásku“ v rovníku. To se zdá na první pohled problematické. Toto ztlouknutí by porušilo spojitost tečné roviny. Operace by tedy zahrnovala krok, který není vnořením.

Jednoho dne americký matematik Stephen Smale dokázal, že „koule S2 má pouze jednu třídu vnoření“. Důsledkem této záhadné věty bylo, že lze spojit posloupnost vnoření koule, která umožní přejít od „standardní koule“ k jejímu „antipodálnímu“ znázornění, tedy k tomu, kde jsou všechny body nahrazeny jejich antipodálními body. Jinými slovy... obrácená koule, „zespoda nahoru“. Raoul Bott byl Smaleovým šéfem. Ačkoli Smaleův důkaz, čistě formální, se zdál neústupný, nikdo nevěděl, jak by se taková operace měla provést. Bott neustále říkal Smaleovi: „Ukažte mi, jak byste postupoval“, na což Smale, s tím svým známým vláskem na jazyku, odpovídal: „Nemám ani tušení.“ Smale později získal Fieldovu medaili, což je pro matematiku ekvivalent Nobelovy ceny. Mezitím se možná ptáte, proč Nobel nikdy nevytvořil Nobelovu cenu pro matematiku. Odpověď je jednoduchá: jeho manželka utekla s matematikem.

Věci zůstaly tak, jak byly, po mnoho let, až do roku 1967, kdy americký matematik Anthony Phillips v Scientific American publikoval první verzi tohoto obrácení, strašně složitou. Druhá verze byla vynalezena na počátku sedmdesátých let francouzským matematikem (nemocným) Bernardem Morinem. Já jsem byl první, kdo tuto posloupnost transformací nakreslil – jak jsem již řekl, bude předmětem příštího článku na webu, který je poměrně rozsáhlý. Výsledkem je vedlejší závěr: plochy lze znázornit polyedricky. Krychle nebo čtyřstěn lze považovat za polyedrická znázornění koule, pokud mají stejnou topologii. Na tento bod se podívejte v mé komiksu Le Topologicon. Navíc je zřejmé, že pokud je možné obrátit kouli, je možné obrátit i krychli. Transformace vynalezená Bernardem Morinem (kterou jsem ilustroval v článku z ledna 1979 v Pour la science) prochází centrálním modelem. V této posloupnosti existuje symetrie. Takový model se nazývá „centrální model s čtyřmi ušima“. Znovu předem. Ale stejně jako koule může být znázorněna polyedricky, platí to i pro jednotlivé kroky těchto transformací. Předmět, který se otáčí na mé úvodní stránce, je tedy polyedrická verze centrálního modelu obrácení koule, model, který jsem vynalezl před deseti lety. Výhodou těchto polyedrických modelů je, že je lze sestavit z rovinných ploch. Je možné je dokonce seřadit podle výřezů. Podívejte se na následující obrázek (a zde děkuji mému příteli Christophe Tardy, který vytvořil správně označené prvky).

Toto je obrázek, který by se vytiskl v malém formátu a byl nevyužitelný.

Pro tisk na list A4 Je třeba jej vytisknout čtyřikrát na silný papír A4, dvě listy jednou barvou, dvě druhou.

Toto je obecný pohled na výřez. Pro tisk je však vhodnější přejít na stránku výřez. Vytiskněte ji. Pak, vybaveni tiskem na běžném papíru z vaší tiskárny, jděte do kancelářského střediska a vytiskněte čtyři identické kopie tohoto obrázku – dvě na zeleném bristolu a dvě na žlutém. Budete tak schopni pomocí tohoto výřezu sestavit centrální model obrácení krychle.

Na těchto vystřižených dílech najdete páry písmen: a, b, c, d, e, f atd. Stačí, když přehnete díly tak, aby stejná písmena byla na sobě, a pak tyto plochy slepíte průhledným páskem. Následující obrázky ukazují, jak sestavit jeden z čtyř dílů. Nejprve ukazují, jak začít přehýbat jeden z čtyř dílů:

Zde jsou dva z těchto čtyř dílů, viděné z různých úhlů.

Tyto díly se pak spojují do objektu s čtyřnásobnou symetrií nebo se střídají zelené a žluté díly. Pro 3D pohled si podívejte realizace pana Tardy ve „virtuální realitě“. Úplně sestavený centrální model je také dostupný ve formátu „vrml“ v této sekci. Zde je tento objekt viděn z různých úhlů:

Není možné říct, že jedna pohled odpovídá „nahoře“ a druhá „dole“, protože tyto označení by byly zcela libovolné. V levém pohledu odpovídá „střední bod“ „dvojitému bodu“ (kde se protínají dvě plochy) centrálního modelu Morin, zatímco střední bod vpravo odpovídá „čtyřnásobnému bodu“ toho samého modelu (kde se protínají čtyři plochy). Přesně jsem objekt natočil, aby levá figura nevzbuzovala představu kříže gama. Jinak by tato polyedrická reprezentace centrálního modelu Morin mohla být architektonicky velmi vhodná pro návrh budovy Národní socialistické kultury.

Poslední pohled:

Poslední poznámka: neexistuje dobrá polyedrická reprezentace obrácení koule (nebo obrácení krychle). „Dobrá“ zde znamená posloupnost modelů dostatečně jasně vysvětlujících, které lze snadno sestavit jako výřezy, jako je tento model. Výzkum v tomto směru by byl vhodný pro každého, možná i pro ne-matematika, plastika apod. Před více než dvaceti lety jsem byl učitelem sochařství na École des Beaux-Arts v Aix-en-Provence, když byla stále řízena mým výborným přítelem Jacquesem Boullierem. V těchto prostorách vznikla první meridionální reprezentace plochy Boy pomocí elips, klíč k konstrukci první implicitní rovnice Apéryho. Musím říct, že v té době jsem byl vždy překvapen výkonností geometrické představivosti studentů umění, která často přesahovala představivost... geometrů.

Počítadlo inicializováno 31. prosince 2001. Počet připojení:

Rozšířená realita Zpět k novinkám

Domovská stránka

Obrázky