5
Symetrie.
(49b)
Co to znamená?
Zvažme skupinu složenou ze čtyř prvků (tzv. "diskrétní skupina").
(50)
kterou mohu napsat:
(51)
Příslušná akce je:
(52)
Je zřejmé, že může obrátit souřadnici x, souřadnici y nebo obě.
Schématicky:
(53)
(54)
(55)
(56)
Nyní můžeme sestavit matici:
(57)
Můžeme ověřit, že tento soubor matic tvoří skupinu.
Jejich determinant je:
(58)
det (
a
) = l m ( cos² a + sin² a ) = l m = ±1
Ověřme, že inverzní matice je:
(59)
(60)
(61)
Takže:
(62)
odkud:
(63)
SO(2) (tzv. speciální ortogonální skupina) je podskupinou O(2) (tzv. ortogonální skupina) a můžeme vytvořit matice
a
ze matic
a
pomocí:
(64)
Zajímavě, mnohé jsou nadbytečné. Například, pokud
(64b)
(65)
což znamená, že změna (x ---> -x; y ---> -y) je ekvivalentní rotaci o
p
. Podívejte se na následující obrázek.
(66)
Víme, že matice:
(67)
odpovídají jednoduché rotaci kolem počátku souřadnic O.
Jaký je význam obecnějších matic:
(68)
Z:
(69)
víme, že
a
odpovídá dvěma kombinovaným operacím:
-
Symetrie podle osy OX, nebo OY, nebo obou.
-
Rotace o úhel a kolem počátku souřadnic.
(70)
Na obrázku je znázorněn pořadí dvou operací
( M1 ----> M4 )
Je zřejmé, že je ekvivalentní symetrii podle přímky procházející bodem O
(71)
Rozšířili jsme "speciální ortogonální skupinu" SO(2), která vznikla z "ortogonální skupiny" O(2). Zjistili jsme pak, že tato rozšířená skupina obsahuje zrcadlové symetrie: všechny symetrie podle přímek procházejících počátkem souřadnic O.
(72)
Index Teorie dynamických skupin