7
Snažíme se třídit. Třídění je založeno na definici druhu.
Dva objekty patřící do stejného druhu mají společnou vlastnost.
-
Vyberte kouli, konkrétní kouli.
-
Podívejte se na podskupinu velké skupiny (Eukleidovy grupy), která tuto kouli nechává invariantní. Souriau tuto podskupinu nazývá
pravidelnost
koule.
- Najděte všechny objekty, které jsou invariantní vůči akci této podskupiny. Zjistíte všechny koule se středem v daném bodě, včetně koule s nulovým poloměrem: bodu.
Potom bod patří do druhu „koulí se středem v počátku“.
Naopak:
-
Vyberte bod trojrozměrného prostoru.
-
Podívejte se na podskupinu Eukleidovy grupy, která tento bod nechává invariantní. Zjistíte ortogonální grupu O(3).
-
Najděte potom všechny objekty, které jsou invariantní vůči akci prvků této podskupiny při rotaci kolem tohoto bodu. Zjistíte všechny koule se středem v tomto bodě a závěrem, že tento bod i všechny tyto koule patří do stejného druhu.
Objekty jako přímka, rovina, válec atd. lze „vytvořit“ jako druh spojený s určitou konkrétní podskupinou.
Ve fyzice chceme třídit elementární částice. Ale nemůžete si částici chytit mezi palec a ukazovák a prohlédnout si ji lupou. Můžete pozorovat pouze jejich chování, jejich
pohyb.
Řekněte mi, jak se pohybujete, řeknu vám, kdo jste.
Mám starého přítele, Jean-Louise Philoche, který je vynikající šachista. Umí hrát slepě (v češtině „hrát slepě“, bez vidění šachovnice). Stačí jen označit tah kamenem:
b1-c3
Pro nehráče:
(90)
Tah jezdce
Jean-Louis dokáže si vše to zapamatovat. Nevím, jak to dělá, ale funguje to. Dokazuje to, že šachové kameny nejsou nutné pro hru (počítač je nepotřebuje).
Představte si, že jste v místnosti a slyšíte dva sousedy, kteří hrají „nějakou hru“. Nevidíte je, ale slyšíte, když oznámí své tahy.
b2-b3
b7-b5
a tak dále...
Myslíte si: pohybují něco. Jaká je tato hra? Vezmete šachovnici, položíte na ni malé kameny a zaznamenáte jejich po sobě jdoucí tahy na papír. Označme C sloupec a L řádek. Tah odpovídá:
( D C , D L )
Pokud |DC| = 1 a |DL| = 1: jde o tah krále.
Pokud |DC| = |DL|: jde o tah střelce (po úhlopříčce).
Pokud |DC| × |DL| = 0: jde o tah věže.
Pokud |DC × DL| = 3: jde o tah jezdce.
Pokud je DL striktně kladný, jde o bílé pěšce. Pokud je DL striktně záporný, jde o černého pěšce.
A tak dále. Vytváříme třídění „objektů“
na základě jejich chování
.
Další příklad. Máte krabici s nástrčkami a šrouby, které jsou zamíchané. Chcete je třídit. Co potřebujete? Různé matice.
(91)
-
Vyberte šroub.
-
Najděte k němu patřící matici.
-
Vyberte všechny šrouby, které do této matice zapadají. Získáte druh šroubů.
Ortogonální grupa
O(3).
Můžeme rozšířit uvedené vlastnosti z 2D kontextu do 3D kontextu. Víme, jak provést rotaci ve 3D prostoru kolem pevného bodu, počátku souřadnic. Závisí na třech úhlech a, b, g, tzv. Eulerových úhlech. Takovou matici nebudeme psát, ale označíme ji jednoduše:
(92)
det ( a ) = + 1
Jedná se o ortogonální matici:
(92b)
Ortogonální grupa O(3) se skládá ze všech ortogonálních matic, včetně těch s determinantem rovným -1. Tyto matice nazýváme (93)
Stejně jako v předchozí části můžeme získat všechny ortogonální matice z SO(3) prostřednictvím:
(94)
kde L je diagonální matice:
(95)
(96)
Vše to je nadbytečné. Ale okamžitě ukazuje základní symetrie.
(97)
(98)
(98b)
(99)
Existují „zrcadlové matice“, které obrací orientaci objektů a transformují je na jejich obraz v zrcadle:
(100)
Uveďte příklad orientovaných objektů, jejichž orientace je touto zrcadlovou symetrií obrácena:
(101)
Jedná se o plochu vymyšlenou Wernerem Boyem, studentem Hilberta. Na tento zajímavý objekt bude věnována zvláštní pozornost v sekci webu věnované matematice. Odstranili jsme část plochy, abychom ukázali trojnásobný bod T.
Můžete tento objekt nazvat „pravý“ nebo „levý“. Nikdo nikdy neoznačil, jaký je „pravý“ otáčivý pohyb plochy Boye. V každém případě: proč otočit plochu Boye? Někteří tvrdí, že by mohla létat, ale já jsem skeptický.
Dále:
(102)
(103)
(104)
Stejně jako v geometrii 2D (symetrie podle počátku) je symetrie podle osy x ekvivalentní rotaci o
p
.
Nakonec:
(105)
které mění orientaci objektů.
Index Teorie dynamických skupin
Původní verze (anglicky)
7
We search to classify. Classification is based on the defnition of species.
Two objects which belong to the same species have some common property.
-
Take a sphere, a peculiar sphere.
-
Look at the sub-group of the grand group ( Euclid's group ) which keeps this sphere invariant. Souriau calls such sub-group the
regularity
of a sphere.
- Search all the objects which are invariant through the action of this sub-group. You find all the spheres centered on a given point, Including the zero-radius shere : the point.
Then the point belongs to the species of "spheres centered around the origin".
Conversely :
-
Take a point of a three-dimensional space.
-
Look at the sub-group of Euclid's group which keeps this point invariant. You find the orthogonal group O(3).
-
Then search all the objects which are invariant through the action of the elements of this sub-groups, under rotation around this point. You find all the spheres centered on this point and conclude that this point and all these spheres belong to a same species.
Objects like a straight line, a plane, a cylinder, etc..... can be "built" as a species linked to some peculiar sub-group.
In physics we want to classify elementary particles. But you cannot take a particle between your thumb and index and look at it through a magnifying glass. The just can observe its behaviour, its
movement
.
Tell be how you move, I will tell you what you are.
I have an old good friend, Jean-Louis Philoche, who is a fine chess player. He can play blind ( en français "jouer à l'aveugle", sans voir l'échiquier ). . You just have to indicate to him the movement of a piece ( une pièce de jeu ) :
b1-c3
For non-players :
(90)
Horse's move
Jean-Louis is able to memorize all that in his head. I don't know how he does, but it works. It proves that chess pieces are not necessary to play ( a computer does not use it ).
Imagine you are in a room and you hear two neighbourings who play "some game". You don't see them but you hear when the announce their moves.
b2-b3
b7-b5
and so on.....
You think : they move something. What's the game ? You take a boad, put small stones on it, and notice their successive moves on a sheet of paper. Call C the column indix and L the line indix. A move corresponds to :
( D C ,
D L )
If I DC I ? 1 and I DL I ? 1 : This refers to a king's move.
If I DC I = I DL I: this refers to a bishop's move ( along a diagonal ).
If I DC I x I DL I = 0 : This refers to a tower's move.
If I DC x DL I = 3 : this refers to a horse's move.
If DL is strictly positive, this refers to white pawn. If is strictlty negative, it refers to a black pawn.
An so on. We build a classification of "objects"
based on their behaviour
.
Another image. You have a box, with mixed bolts. You want to classify these bolts. What to you need ? Different nuts.
(91)
-
Take a bolt.
-
Search the nut that fits it.
-
Select all the bolts that fit this nut. You get a species of bolts.
Orthogonal group
O(3).
We can extend what was said above in 2d to 3d context. We know how to make a rotation in a 3d space, with respect to a fixed point, origine of coordinates. It depends on three angles a , b , g , called Euler's angles. We won't write such a matrix, just write it :
(92)
det (
a
) = + 1
It is an orthogonal matrix :
(92b)
The orthogonal group O(3) is composed by all orthogonal matrixes, including those whose determinant is = - 1 . We call these matrixes (93)
As in preceding section we can obtain all the orthogonal matrixes, from the SO(3), through :
(94)
Lbeing the diagonal matrix :
(95)
(96)
All this is redundant. But it makes appear immediatly the basic symmetries.
(97)
(98)
(98b)
(99)
There are "mirror matrixes" which reverse the orientation of the objects, transform these objects into their image in a mirror :
(100)
Give an example of oriented objects, whose orientation is reversed through this mirror symmetry :
(101)
This is the surface invented by Werner Boy, a student of Hilberth. Attention will be paid to this interesting object in the section of the site devoted to mathematics. We have removed a portion of the surface in order to show the triple point T.
You can call any of these object "right" or "left". Nobody has never indicated what was the right rotation movement of of Boy's surface. Anyway : to make a Boy's surface to turn : why ? Some pretend it can fly, but I am skeptical.
Next :
(102)
(103)
(104)
As in 2d geometry (symmetry with respect to the origin ) the symmetry with respect to ax axis is equivalent to a rotation of
p
.
Finally :
(105)
which change the orientation of objects.
Index Dynamic Groups Theory