a4109

9

O komponentách skupiny.

O(2) je skupina složená ze dvou komponent:

• její neutrální komponenta
  ( podskupina SO(2), která obsahuje neutrální prvek 1 ).

• zbývající prvky.

Pokud vytvoříme euklidovskou skupinu ve dvou dimenzích z O(2):

(112)

tato skupina má dvě komponenty. Její neutrální komponenta je tvořena prvky SO(2).

(113)

Nazýváme ji

speciální

euklidovská skupina: s touto skupinou nelze obrátit orientaci „písmene“, jako je R.

Euklidovská skupina se svými dvěma komponentami se nazývá

úplná skupina

.

Vzhledem ke speciální skupině, podskupině úplné euklidovské skupiny:

(114)

patří do dvou odlišných druhů, protože nelze najít žádný prvek

g

EO

této skupiny GSE (nebo SE(2)), který by mohl převést první písmeno na druhé a naopak.

Vzhledem k úplné skupině tyto dvě písmena patří do stejného druhu, protože existuje prvek

g E

skupiny G

E (symetrie, která patří do druhé komponenty), který může převést jedno z těchto dvou písmen na druhé.

Stejně tak euklidovská skupina ve třech dimenzích („úplná“ euklidovská skupina):

(115)

má dvě komponenty. První, tzv. neutrální komponenta, je podskupina tvořená prvky SO(3):

(116)

Tuto neutrální komponentu nazýváme speciální euklidovskou skupinou SE(3). Vzhledem k této skupině patří pravá a levá ruka do odlišných druhů, protože neexistuje žádný prvek

g

SE

skupiny G

SE

, který by mohl převést levou ruku na pravou a naopak.

Vzhledem k úplné skupině patří do stejného druhu.

Krátce:

Když člověk sleduje svůj obraz v zrcadle, vidí, že jeho levá a pravá ruka jsou zaměněny. Proč však nejsou také zaměněny jeho hlava a nohy?

Odpověď poskytuje francouzský matematik J.M. Souriau:

(116b)

Další poznámka, techničtější. Z orientované euklidovské skupiny je možné vytvořit úplnou euklidovskou skupinu, pomocí skaláru l = ± 1

(116c)

prvky, pro které l = -1, patří do druhé komponenty a „inverují prostor“, transformují objekty na jejich enantiomorfní obrazy.

Rozšíření na 4D PT-skupinu.

Začněme se speciální ortogonální skupinou:

(118)

a poté vytvořme PT-skupinu pomocí matic (4,4):

(119)

Jde o čtyřkomponentní skupinu (l = ± 1; m = ± 1).

Tato skupina působí na prostoročas následujícím způsobem:

(120)

Poznamenejme, že bychom to mohli napsat:

(121)

Ale nic se nezmění, protože základní působení zůstává nezměněno.

Mezi těmito čtyřmi komponentami máme neutrální komponentu, skupinu

(orientovanou v prostoru, orientovanou v čase).

(122)

Máme:

(123)

Poznamenejme, že:

(124)

g

SOTO

je také ortogonální matice. Ortogonální matice jsou definovány touto axiomatikou vlastností.

Poznamenejme, že budeme velmi často používat axiomatiky vlastností speciálních matic, mnohem více než samotné matice. Pro skupinu SO(2) jsme napsali matice explicitně. Pro SO(3) a O(3) to však nebudeme dělat, protože to není nutné a zkomplikovalo by to výpočty. Je mnohem efektivnější a elegantnější použít axiomatiku vlastností matic skupiny.

Předem zvažme matice definované:

(125)

kde:

(126)

Ve formě diagonální matice:

(127)

Kromě toho:

(128)

Ukažte, že tyto matice tvoří skupinu.

Zvažme:

(129)

a vytvořme:

(130)

Potom součin takových zobecněných Lorentzových matic odpovídá axiomu.

Ukažte, že inverzní matice patří do skupiny:

(131)

Vypočtěte inverzní matici.

(132)

(132b)

odpovídá zvláštnímu případu:

(132c)

Tvar této matice odpovídá metrice prostoročasu (jak uvidíme znovu, s Lorentzovými maticemi, dále, při zahájení relativistického světa).

(133)

je prostoročasový vektor

Vztah odpovídá základní kvadratické formě:

(134)

s:

(134b)

což dává:

(135)

ds² = dx⁰² + dx² + dy² + dz²
x⁰ = ct je „chronologická proměnná“.

To odpovídá euklidovskému prostoročasu, kde rychlost:

(136)

není omezená.

Index Teorie dynamických skupin