GEOMETRISCHE KUNSTSTÜCKE
Polyedrische Darstellung eines spitzen Punktes, Berechnung seiner konzentrierten Krümmung.
Polyedrische Darstellungen verschiedener Flächen.
Permutation der spitzen Punkte einer Cross-Cap.
Transformation einer „rechten“ Boy-Fläche in eine „linke“ Boy-Fläche über die Steinersche Römische Fläche.
„Rechts-Links“-Inversion einer Boy-Fläche.
Jean-Pierre Petit
Direktor der Forschung am CNRS
1988–1999 ---
Zusammenfassung:
Es werden einige Elemente vorgestellt, die es ermöglichen, Punkte mit konzentrierter Krümmung darzustellen: „Posikone“, „Negakone“ und ihre polyedrischen Äquivalente: „Posicoins“ und „Negacoins“, die es erlauben, polyedrische Darstellungen verschiedener Flächen zu konstruieren und deren Gesamtkrümmung wiederzufinden. So besteht die polyedrische Darstellung der Steinerschen Römischen Fläche aus vier an ihren Kanten angefügten Würfeln, was sie verständlicher macht. Eine polyedrische Darstellung der Boy-Fläche wurde bereits im Topologicon, 1985, Editions Belin, S. 48–49, in Form eines Ausschnitts zur Selbstkonstruktion gegeben. Auf S. 46 waren ebenfalls polyedrische Darstellungen des Torus und der Klein’schen Flasche abgebildet. Polyedrische Darstellungen der Cross-Cap werden vorgestellt. Die Gesamtkrümmung verschiedener Einbettungen der projektiven Ebene in R³ – Boy-Fläche, Cross-Cap, Steinersche Römische Fläche – beträgt jeweils 2π. Die polyedrische Darstellung spitzen Punkte, die als Punkte konzentrierter Krümmung betrachtet werden, ermöglicht eine sehr einfache Berechnung dieser Krümmung. Cross-Cap, Steinersche Römische Fläche und Boy-Fläche erscheinen als „verschiedene Gesichter eines einzigen Objekts“: der projektiven Ebene. Da dies auf den ersten Blick nicht offensichtlich ist, werden geometrische Transformationen konstruiert, die den Übergang von einer zur anderen ermöglichen. Man beginnt mit der Cross-Cap und transformiert sie in die Steinersche Römische Fläche, indem man zwei zusätzliche spitze Punkte erzeugt (d. h., man wendet in dieser Richtung die generische Modifikation „Erzeugung und Vernichtung von spitzen Punkten“ an), anschließend transformiert man die Steinersche Fläche in die Boy-Fläche durch Verschmelzung von Paaren spitzen Punkten. Nebenbei zeigt man unter Verwendung der Tatsache, dass die Standard-Einbettung der Kugel in ihre antipodale Einbettung (Umdrehung der Kugel) transformiert werden kann, dass die beiden spitzen Punkte einer Cross-Cap durch eine Folge von Einbettungen vertauscht werden können, wodurch verdeutlicht wird, dass diese beiden Punkte äquivalent sind.
VORWORT:
Der Leser findet hier allgemeine Elemente, die auch in der Einleitung von GEOMETRISCHE PHYSIK A (Definition von Posikonen, Negakonen usw.) enthalten sind. Wer diesen Abschnitt überspringen möchte, kann einfach [hier klicken](#POSICOINS UND NEGACOINS).
Zeichnet man auf einer Ebene ein Dreieck aus geraden Linienstücken, beträgt die Summe der Winkel an den Ecken π. Diese Geraden der Ebene können auch anders erzeugt werden: Indem man auf der Oberfläche Streifen eines beliebigen Klebebands ohne Falten anbringt. Man bezeichnet diese Wege der Ebene als Geodäten. Auf jeder beliebigen Fläche können Geodäten auf diese Weise gezeichnet werden, beispielsweise auf einer Autotür oder auf der Motorhaube.
Abbildung 1: Ein Dreieck als Menge von drei Geodäten der Ebene
POSICOINS UND NEGACOINS
Führen wir eine Schnittlinie in einer Ebene aus und kleben die beiden Ränder wieder zusammen, dann zeichnen wir mit unserem Klebeband ein Dreieck, bestehend aus drei Geodäten dieses Kegels.
Abbildung 2: Konstruktion eines Posikons.
Wenn man die beiden Ränder der Oberfläche entlang der vorherigen Schnittlinie trennt (Abbildung 3), erkennt man leicht, dass die Summe der Winkel A, B und C gleich π plus dem Schnittwinkel α ist. Dieser Abstand von der euklidischen Summe bezeichnen wir als Krümmung und sagen, dass das Dreieck eine gewisse Menge an Winkelkrümmung α „enthält“. Dieser Abstand bleibt gleich, egal welches Dreieck man zeichnet, solange es den Scheitelpunkt des Kegels enthält. Enthält es ihn nicht, beträgt die Summe π. Wir sagen, die Krümmung ist im Scheitelpunkt M des Kegels konzentriert, der dann ein „Punkt konzentrierter Krümmung“ ist. Da die Summe der Winkel größer ist als die euklidische Summe, sagen wir, dass diese Krümmung positiv ist. In dieser Sichtweise wäre eine Ebene somit eine Fläche mit null Krümmung.
Abbildung 3: Das Posikon in flacher Darstellung.
Diese Krümmung ist additiv. Wenn man mehrere solcher Kegel, die Winkel α, β, γ entsprechen, zusammenklebt, kann man beliebige Dreiecke aus Geodätenbogen zeichnen. Enthält das Dreieck drei Punkte, die Krümmungen von α, β, γ aufweisen, so beträgt die Summe der Winkel an den Ecken: π + α + β + γ.
Eine Fläche mit positiver Krümmung kann man sich als eine Kugel vorstellen, die aus einer unendlichen Anzahl von „Posikonen“ zusammengesetzt ist. Anstatt dass die Krümmung an verschiedenen Punkten konzentriert ist, hat man eine gleichmäßige Verteilung der Krümmung über die gesamte Fläche. Man sagt, die Kugel sei eine Fläche mit „konstanter Krümmung“ (oder mit „konstanter Winkelkrümmungsdichte“).
Abbildung 4: Ein Dreieck aus drei Geodätenbogen.
Auf der Kugel sind die Geodäten „große Kreise“. Äquator und Meridiane sind große Kreise, sie sind Geodäten der Kugel. Aber man kann keinen Parallelkreis mit einem Klebeband erzeugen. Die Parallelkreise sind keine Geodäten der Kugel. Die Summe der Winkel eines Dreiecks auf der Kugel hängt vom Verhältnis der Dreiecksfläche zur Kugeloberfläche ab. Die Summe der Winkel eines sehr kleinen Dreiecks ist sehr nahe bei π.
Ein Dreieck, dessen Fläche ein Achtel der Kugeloberfläche beträgt, hätte eine Winkelsumme
A + B + C = 2π
Ein großer Kreis der Kugel kann als „Dreieck“ betrachtet werden, vorausgesetzt, man setzt die drei Ecken beliebig auf diesen Kreis. Die Summe A + B + C beträgt dann 3π. Es enthält die Hälfte der Kugeloberfläche.
Was ist das maximale Ausmaß? Man kann nicht sagen, man „vergrößere“ das Dreieck über diesen großen Kreis hinaus, denn darüber hinaus verringern sich die Längen der Geodätenbogen, die seine Seiten bilden, und nähern sich sogar null an.
Sobald man die gesamte Kugeloberfläche umschlossen hat, erhält man
A + B + C = 5π = π + 4π
Wir sagen, die Gesamtkrümmung der Kugel beträgt 4π.
Abbildung 5: Summe der Winkel. Dreieck aus Geodätenbogen der Kugel.
Die Menge an Krümmung, die in einem Dreieck enthalten ist, entspricht einer einfachen Dreisatzrechnung:
Wir werden nun einen „Negakon“ erzeugen, indem wir in einer Ebene einen Winkelabschnitt α einfügen, wie in Abbildung 6 gezeigt.
Abbildung 6: Ein „Negakon“
Wenn man den Winkelabschnitt entfernt, erhält man Folgendes:
Abbildung 7: Der Negakon in flacher Darstellung.
Die Summe der Winkel des Dreiecks beträgt A + B + C = π – α
Wir sagen, diese Fläche sei ein Negakon mit einem Punkt konzentrierter negativer Krümmung. Diese Krümmung ist ebenfalls additiv. Wenn man eine Fläche durch eine Zusammensetzung von kleinen Posikonen und kleinen Negakonen bildet...