Eine neue Axiomatik der Gruppen

Eine neue Axiomatik der Gruppen **

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...Souriau wohnt in einer Wohnung im alten Aix. Die Tür zur Straße ist herrlich. Im Eingang steht ein recht merkwürdiges Fahrzeug: ein Tragstuhl aus der alten Zeit, der der Eigentümerin gehört, einer jungen Dame, Archäologin, glaube ich. Der Stuhl steht an der Wand. Man braucht nur zwei Träger zu finden, die beiden langen Holzstangen in die Ringen einzuführen und sich hineinzusetzen, um eine kleine Fahrt zu unternehmen. Die Öffnungen sind verglast: Die Seitenscheiben lassen sich nicht mittels einer Kurbel, sondern durch Ziehen an Lederriemen herunterklappen, wie es in den Abteilen der Eisenbahnen meiner Kindheit üblich war.

...Wie sehr das alles träumen lässt. Ich merke, dass ich noch nie in einem Tragstuhl gefahren bin. In Zeiten hoher Arbeitslosigkeit bin ich überzeugt, dass Menschen ihr Leben damit verdienen könnten, die erste regelmäßige Linie mit Tragstühlen im alten Aix einzurichten. Es würde genügen, ein Fahrzeug zu bauen, das den alten Tragstühlen nachempfunden ist. Das dürfte nicht allzu schwierig sein. Dann müsste man nur noch zwei bestickte Gewänder und zwei Perücken beschaffen und los geht’s. Die Strecke: der Cours Mirabeau. Das würde völlig ausreichen. Danach braucht man nur noch zu träumen und etwas Fantasie zu haben.

...Jean-Marie lebt allein mit seiner Katze Pioum in seiner großen Wohnung, voller Goldarbeiten und Holzvertäfelungen. Pioum ist entzückend. Dennoch habe ich wenig Neigung zu Katzen. Doch diese hier ist äußerst gastfreundlich und zärtlich.

Wir arbeiten gewöhnlich in der Küche, eine Etage höher. Ein kleiner Raum unter dem Dach, dessen Enge im Kontrast zu den großzügigen Räumen im Erdgeschoss steht. Jedes Mal versucht Jean-Marie, mir seinen Lieblingstrank einzuschenken: Fernet-Branca, ein Getränk auf Artischockenbasis, das ich für absolut schrecklich halte, das er aber allen möglichen Vorzügen zuschreibt.

...Wenn er durch die Stadt geht, nimmt er stets sein GPS mit, das ihn nie verlässt. Es ist tatsächlich faszinierend, von Satelliten, die 40.000 Kilometer entfernt sind, durch die Straße geleitet zu werden, in der man gerade geht. Um eine bessere Empfangsqualität zu erzielen, neigt Souriau dazu, geradeaus auf der Straße zu gehen und den Blick starr auf das Flüssigkristalldisplay zu richten. Effektiv, scheint es, aber dennoch relativ gefährlich.

...Ich finde, wir haben viel Spaß miteinander. An einem Dezemberabend besuchte ich ihn, und es entstand folgendes Gespräch:

• Ich werde dir jetzt über Gruppen sprechen. Erinnerst du dich an die Axiome?

• Ja, es gibt sechs. Sie lauten:

1 - Es gibt Elemente a, b, c usw., die einer Menge E angehören.

2 - Es gibt eine innere Operation, bezeichnet mit o ("rund"), die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu verknüpfen.

a gehört zur Menge E

b gehört zur Menge E

a o b gehört zur Menge E

3 - Diese Operation ist assoziativ:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Es gibt ein neutrales Element e, sodass:

a o e = e o a = a

5 - Jedes Element a der Menge besitzt ein Inverses, bezeichnet mit a⁻¹, sodass:

a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e

Das macht fünf?

• Nun ja, fünf, vier oder eins. Es gibt keine feste Regel bezüglich der Nummerierung der Axiome. Man könnte genauso gut die Axiome 1 und 2 zu einem einzigen zusammenfassen:

• Es gibt Elemente a, b, c usw., die einer Menge E angehören, versehen mit einer inneren Verknüpfung, die erfüllt:

a gehört zur Menge E

b gehört zur Menge E

a o b gehört zur Menge E

Das ist äquivalent.

• Gut, fünf, vier, egal. Worauf willst du hinaus?

• Ich werde das, was du die Axiome 4 und 5 genannt hast – das neutrale Element und das Inverse – eliminieren und durch das Sandwich-Axiom ersetzen. Insgesamt lauten die Axiome nun:

1 - Es gibt Elemente a, b, c usw., die einer Menge E angehören.

2 - Es gibt eine innere Operation, bezeichnet mit o ("rund"), die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu verknüpfen.

a gehört zur Menge E

b gehört zur Menge E

a o b gehört zur Menge E

3 - Diese Operation ist assoziativ:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Seien drei Elemente a, b, c, die einer Menge E angehören.

Betrachte die Gleichung:

a o y o b = c

Sie besitzt genau eine Lösung.

Das nenne ich das Sandwich-Axiom, wobei das "Schinkenstück" y zwischen den Elementen a und b eingeschlossen ist, während c die gesamte Sandwich-Entität darstellt. Das Axiom bedeutet:

Man kann das Schinkenstück immer aus einem Sandwich herausnehmen.
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Und ich behaupte, dass diese Axiome die Gruppen definieren, sie sind äquivalent zu den vorherigen.

• Diese eindeutige Lösung y gehört zur Menge E, da die Operation innerhalb der Menge definiert ist und assoziativ ist.

• Natürlich, das versteht sich von selbst.

• Aber es ist noch besser, es auszusprechen. Ich weiß nicht, wie du vorgehen wirst, um die beiden Axiome über das neutrale Element und das Inverse wiederherzustellen, aber ich verstehe zumindest, was dich zu dieser Idee geführt hat.

• Ich dachte mir: „Wozu dient das?“

• Genau. Wozu dient ein neutrales Element? So verstanden bedeutet es: „Wenn ich eine Menge E und ein neutrales Element habe, kann ich jedes Element dieser Menge mit diesem verknüpfen und erhalte dasselbe Ergebnis.“ Das ist mir völlig egal. Ebenso: Wozu dient das Inverse an sich? Wenn man Berechnungen in Gruppen durchführt, auf irgendeinem Objekt, dann schafft man immer wieder durch Multiplikationen von rechts oder links mit Elementen oder deren Inversen die Ausdrücke a o a⁻¹ oder a⁻¹ o a, die man durch e ersetzt, und dann b o e oder e o b, die man durch b ersetzt. Dein Sandwich-Axiom ist „funktional“.

• Wenn du willst. Lassen wir die Theoreme folgen, die aus dem Sandwich-Axiom abgeleitet werden. Das erste lautet:

I - Es existiert ein neutrales Element, das mit sich selbst verknüpft sich selbst ergibt:

e = e o e

II - Dieses neutrale Element ist eindeutig.

Beweis:

Ausgehend vom Sandwich-Axiom besitzt die Gleichung

a o y o b = c

eine eindeutige Lösung y.

Das gilt auch, wenn b = c = a, also

a o y o a = a

besitzt eine eindeutige Lösung. Multipliziere rechts mit y:

a o y o a o y = a o y

Bezeichne a o y = e

...Das ist ein Element der Menge, da a und y zur Menge gehören und die Operation innerhalb der Menge definiert ist. Es existiert also ein Element der Menge mit der Eigenschaft:

e o e = e

...Der Satz I ist bewiesen. Nun zum Beweis der Eindeutigkeit, Satz II. Gäbe es keine Eindeutigkeit, gäbe es ein weiteres Element der Menge, nennen wir es f, das folgende Eigenschaft erfüllt:

f o f = f

Wir haben:

e o e = e

Multipliziere rechts mit f:

e o e o f = e o f

Multipliziere erneut rechts mit e:

e o e o f o e = e o f o e

Verwende die Assoziativität:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

Das sind zwei Sandwiches. Bezeichne sie:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...Gemäß dem Sandwich-Axiom kann man das „Schinkenstück“ „herausziehen“, d. h. die Ausdrücke ( e o f ) und f berechnen, die gleich sein müssen, da p = q. Also:

( e o f ) = f

...Beginne erneut mit der Eigenschaft, die für das zweite Element f gilt:

f o f = f

...Multipliziere zweimal links mit e und rechts mit e:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...Verwende die Assoziativität:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...Verwende das Sandwich-Axiom erneut und folgere:

e o f = e

also:

e = f

Satz III: Wenn ich dieses Element e „gleich seinem Quadrat“ nehme, folgt daraus:

a o e = a

Beweis:

Wir verwenden weiterhin das Sandwich-Axiom. Ausgehend von der Definition von e:

e o e = e

multipliziere nacheinander rechts mit a und mit e:

e o e o a o e = e o a o e

Wende die Assoziativität an:

e o ( e o a ) o e = e o a o e

Also:

e o a = a

Gehe von:

e o e = e

aus und multipliziere nacheinander links mit a und mit e:

e o a o e o e = e o a o e

Wende die Assoziativität an:

e o ( a o e ) o e = e o a o e

Daraus folgt:

a o e = a

Satz III ist bewiesen.

Gehen wir zum Satz IV über

(Existenz eines Inversen, bezeichnet mit a⁻¹).

Aussage: Sei ein Element der Menge gegeben. Es existiert genau ein Element, das die Gleichung löst:

a o y o a = a

Wir bezeichnen dieses Element mit a⁻¹ und nennen es das Inverse von a. Dieses Element erfüllt die Eigenschaften:

a o a⁻¹ = e

a⁻¹ o a = e

Beweis.

Existenz und Eindeutigkeit dieses Elements folgen direkt aus dem Sandwich-Axiom, wenn man es so formuliert:

Wenn die Brotscheiben identisch sind und identisch mit dem Sandwich, dann ist das Schinkenstück das Inverse der Brotscheibe (oder des Sandwiches).

a o y o a = a

Wir können die Assoziativität auf zwei Arten anwenden:

( a o y ) o a = a

a o ( y o a ) = a

Wir wissen, dass:

e o a = a

a o e = a

Daher erfüllt die Lösung y:

a o y = e

y o a = e

Zeige, dass diese Lösung eindeutig ist. Gäbe es eine andere:

a o z = e

z o a = e

Multipliziere die erste Gleichung links mit y:

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

da y o a = e, folgt:

z = y

Diese Lösung nennen wir a⁻¹, die Lösung der eindeutigen Gleichung:

a o a⁻¹ o a = a

Damit führt das neue Axiomensystem zu denselben Eigenschaften, die klassischerweise die Gruppen definieren.

Man kann also Gruppen mit diesem neuen Axiomensystem definieren:

Definition einer Gruppe.

1 - Es gibt Elemente a, b, c usw., die einer Menge E angehören.

2 - Es gibt eine innere Operation, bezeichnet mit o ("rund"), die es ermöglicht, zwei Elemente einer Menge zu verknüpfen.

a gehört zur Menge E

b gehört zur Menge E

a o b gehört zur Menge E

3 - Diese Operation ist assoziativ:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - Seien drei Elemente a, b, c, die einer Menge E angehören.

Betrachte die Gleichung:

a o y o b = c

Sie besitzt genau eine Lösung.

Wenn die Elemente einer Menge E, versehen mit ihrer inneren Verknüpfung, diese vier Axiome erfüllen, dann sage ich, dass sie eine Gruppe bilden.

Satz: Das neutrale Element ist sein eigenes Inverses. Diese neue Definition des neutralen Elements mittels einer einzigen Gleichung führt zu einer anderen Art des Beweises dieser Eigenschaft.

e o e = e

Das ist die Definition des besonderen Elements e. Doch das Sandwich-Axiom macht diese Gleichung zur Eigenschaft (und nicht mehr zur Definition) des Inversen.

Ein weiterer Satz: Das Inverse des Inversen ist gleich dem Element selbst:

( a⁻¹ )⁻¹ = a

a⁻¹ o a = e

a o a⁻¹ = e

a ist das Inverse von a⁻¹. Daraus folgt die Eigenschaft.

Zeige, dass:

( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹

Berechne:

a o b o b⁻¹ o a⁻¹ und b⁻¹ o a⁻¹ o a o b

Zeige, dass beide Größen gleich e sind.

a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹

= a o e o a⁻¹

= a o a⁻¹

= e

Gleiches gilt für den anderen Ausdruck.

• Das ist ein anderer Ansatz zum Konzept der Gruppe.

• Die Ontologie der Gruppen.

• Wenn du willst.

• Aber ich habe das Gefühl, dass dieses Konzept fruchtbar sein könnte.

• Vergiss nun alles, auch das Sandwich-Axiom. Betrachte eine Menge E mit einer assoziativen inneren Verknüpfung o. Angenommen, in dieser Menge existiert ein Element, das bei Verknüpfung mit allen anderen Elementen die Rolle des neutralen Elements spielt:

a o e = e o a = a – Ist es eindeutig?

• Wenn es existiert, ist es notwendigerweise eindeutig, das lässt sich beweisen.

• Ah ja, das ist richtig.

• Ich sage, zwei Elemente a und b stehen in einer Reziprozitätsbeziehung, wenn

a o b = b o a = e

Wenn man a gegeben hat, ist b sein Inverses. Ich behaupte, dass, wenn man die Menge auf die Teilmenge der Elemente beschränkt, die ein Inverses besitzen, diese Teilmenge eine Gruppe bildet. Das ist eine Art, Gruppen zu konstruieren. Anders ausgedrückt: Man wählt aus der Menge die Elemente aus, die diese Eigenschaft erfüllen, und ich behaupte, dass dies ausreicht, um zu sagen, dass diese Teilmenge eine Gruppe bildet.

Es muss gezeigt werden, dass diese Eigenschaft innerhalb der Menge erhalten bleibt.

• Was meinst du damit?

• Seien zwei Elemente a und a', die diese Eigenschaft erfüllen, also:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a besitzt ein Inverses b

a' besitzt ein Inverses b'. Sie sind also in der betreffenden Teilmenge enthalten. Es muss gezeigt werden, dass a o a' ebenfalls ein Inverses besitzt.

Entfernen wir diese „Runden“, die schwerfällig sind.

a' o b' = e

Multipliziere links mit a und rechts mit b:

a o a' o b' o b = a o e o b = a o b = e

Also:

( a o a' ) o ( b' o b ) = e

Gehe von:

b o a = e

aus und multipliziere links mit b' und rechts mit a':

b' o b o a o a' = b' o e o a' = b' o a' = e

( b' o b ) o ( a o a' ) = e

Also besitzt das durch die Verknüpfung von a und a', die beide Inverse besitzen, entstandene Element ebenfalls ein Inverses.

• Es bleibt zu zeigen, dass diese Teilmenge tatsächlich eine Gruppe bildet.

• Dazu zeige ich, dass diese Teilmenge das Sandwich-Axiom erfüllt, d. h. dass:

a o y o b = c

eine eindeutige Lösung y besitzt.

• Ich verstehe. Du gehst axiomatisch genau anders herum vor als zuvor. Zuvor hast du das Sandwich-Axiom vorausgesetzt und gezeigt, dass dies die Existenz von Inversen impliziert. Jetzt nimmst du an, dass alle Elemente der Menge Inverse besitzen, und versuchst, mithilfe dieser Eigenschaft das Sandwich-Axiom wiederherzustellen.

• Die beste Art, zu zeigen, dass die Gleichung eine eindeutige Lösung besitzt, besteht darin, sie zu konstruieren. Multipliziere die obige Gleichung links mit a⁻¹ und rechts mit b⁻¹.

a⁻¹ o a o y o b o b⁻¹ = a⁻¹ o c o b⁻¹

( a⁻¹ o a ) o y o ( b o b⁻¹ ) = a⁻¹ o c o b⁻¹

y = a⁻¹ o c o b⁻¹

• Somit ist y tatsächlich eine Lösung der Gleichung:

a o y o b = c

Durch Einsetzen der konstruierten Lösung ergibt sich:

a o ( a⁻¹ o c o b⁻¹ ) o b = c

...Hierbei setzen wir voraus, dass man mit Klammern spielen darf und die Assoziativität verallgemeinern kann. Wir haben angenommen (das ist eines der Axiome), dass man zwei Elemente in einer Folge von Operationen isolieren kann:

a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )

Es geht darum zu zeigen, dass es erlaubt ist, drei Elemente zwischen zwei Klammern einzuschließen. Wir werden dies ohne Beweis annehmen.

Anwendungen:

...Betrachte die Menge der reellen Zahlen mit der Multiplikation x als Verknüpfung. Sie ist innerhalb der Menge definiert, aber es ist keine Gruppe im Sinne dieses neuen Axiomensystems. Denn die Gleichung, die das Element e definiert:

e o e = e

besitzt zwei Lösungen:

e = +1 und e = -1

...Betrachte die vorherige Konstruktion. Gegeben ist eine Menge (die reellen Zahlen), eine assoziative Verknüpfung (die Multiplikation). Diese Menge besitzt ein neutrales Element 1, das nicht als Lösung von

e o e = e

definiert ist, sondern als Element, das bei Verknüpfung mit jedem anderen Element der Menge (auch mit sich selbst) dieses wieder ergibt, anders ausgedrückt die klassische Definition:

Für jedes a, das zur Menge E gehört, gilt:

e o a = a o e = a

Wenn man von der klassischen Definition des Inversen ausgeht:

a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e

...haben wir gezeigt, dass die Teilmenge der Elemente, die ein Inverses besitzen, eine Gruppe bildet. Daher bilden die reellen Zahlen ohne Null eine Gruppe.

Betrachte quadratische Matrizen der Größe (n,n). Sie besitzen ein neutrales Element:

mit Nullen außerhalb der Hauptdiagonale, die mit „1“ gefüllt ist.

Die invertierbaren Matrizen bilden eine Gruppe, die man die lineare Gruppe GL(n) nennt.

• Mir gefällt das alles sehr gut.

• Hmm... das ist nur eine Variante der klassischen Axiomatik. Ich habe dies vor einer Woche auf einem Epistemologiekongress in Grenoble vorgestellt.

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