Ein Einbettung einer Fläche in R³ ist eine Darstellung, bei der die Tangentialebene stetig ist und keine Selbstschnittmenge existiert. Kugel und Torus können in R³ eingebettet werden.
Eine Immersion einer Fläche in R³ besitzt ebenfalls eine stetige Tangentialebene, jedoch existiert eine Selbstschnittmenge. Beispiele: Boy-Fläche, Klein'sche Flasche.
Man kann stets eine Einbettung in eine Immersion überführen. Nehmen wir eine Kugel und bringen zwei Punkte, beispielsweise antipodale („Pol“), im Inneren zum Kontakt. In dieser „unwirklichen“ Welt der Immersionen können Flächen sich selbst durchdringen. Dadurch entsteht eine Selbstschnittkurve (hier ein Kreis).
Das Umgekehrte ist jedoch nicht automatisch möglich. So kann die projektive Ebene nicht in R³ eingebettet werden, sie kann dort nur immersiert werden. Die klassische Form dieser Immersion ist die Boy-Fläche, die eine Selbstschnittmenge in Form einer dreifachen Schraubenlinie besitzt, mit einem dreifachen Punkt (wo drei Blätter sich kreuzen). Siehe Abbildungen 29a und 29b. Gleiches gilt für die Klein'sche Flasche, deren minimale Selbstschnittmenge eine geschlossene Kurve ist. Siehe Topologicon, Seite 46. Einbettungen können als Spezialfälle von Immersionen betrachtet werden, bei denen die Selbstschnittmenge leer ist. Darstellungen, bei denen Spitzenpunkte auftreten, sind keine Immersionen, da diese Punkte hinsichtlich der Stetigkeit der Tangentialebene singulär sind. Nennen wir solche Darstellungen Schneidungen von Objekten in R³. Eine Schneidung einer Fläche in R³ könnte als eine Immersion „fast überall“ erscheinen, d.h. mit stetiger Tangentialebene, außer an einer endlichen Anzahl von Punkten. Doch dies ist keine präzise Definition, da es mehrere Möglichkeiten gibt, die Stetigkeit der Tangentialebene zu unterbrechen. Wir werden dieses Thema der Unstetigkeiten später noch einmal aufgreifen.
Flächen und allgemeiner geometrische Objekte – Punkt, Gerade, geschlossene Kurve, „Kurve mit Rand“ (Strecke oder „b1-Kugel“), Kreisscheibe usw. – sind wie die Objekte einer Sprache. Wir haben in dem Topologicon ausgiebig mit all diesen Elementen gespielt (siehe CD-Lanturlu), als „Wörter“ oder „Buchstaben“, aus denen man Wörter und Sätze nach einer Syntax zusammensetzen kann. Solche Objekte nennen wir Konstruktionen.
Es gibt Transformationen, die echte geometrische Operatoren sind. In dem Artikel beschrieben wir die Erzeugungs- und Vernichtungsoperation von Spitzenpunkten. Wir erläutern sie nun detaillierter.
Ein grundlegendes Objekt ist das, was man den „Gamma-Zylinder“ nennen könnte.
Er besitzt eine Selbstschnittlinie, von der aus wir durch Verengen des oberen Rohrabschnitts zwei Spitzenpunkte erzeugen.
Wir beginnen die Verengungsoperation: 
Die Querschnittsfläche bleibt immer ein „Gamma“, entspricht jedoch einem sich verengenden Durchgang. Die Analyse der Umgebung eines singulären Punktes ist stets schwierig. Es gibt mehrere mögliche Zeichnungen, die verschiedenen Arten von Singularitäten entsprechen.
Der Punkt G entspricht der Vereinigung zweier Spitzenpunkte. Die Anglosachsen bezeichnen alle Singularitäten als „cusps“. Übersetzung (Wörterbuch): Horn, Gipfel. Doch der Gipfel eines Hörns ist ein kegelförmiger Punkt. Larousse: Cuspide: scharfe, längliche Spitze, vom Lateinischen cuspida: Spitze. Die Singularität, die aus der Vereinigung entsteht, kann andere Formen annehmen, beispielsweise: 
Der Querschnitt ist derselbe: dieses umgekehrte „V“, doch es handelt sich weder um dasselbe Objekt noch um dieselbe Singularität. Trotzdem kann man von einer dieser Figuren zu folgender übergehen:
Hier haben wir zwei Spitzenpunkte C1 und C2. Der Querschnitt hat sich verändert (rechts dargestellt, mit der Schnittebene über der Abbildung).
Dies ist die Veränderung „C“. Detail: 
Ich erklärte einem Freund am Telefon, was ein Spitzenpunkt ist.
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Stell dir vor, du sitzt auf einem Pferd. Plötzlich drückst du mit deinen Beinen das Pferd zusammen, sodass deine beiden Beinsegmente zum Kontakt gebracht werden. Die Pferdefläche verändert sich. Ihr rechtes Gesäß verbindet sich mit ihrer linken Schulter und ihr linkes Gesäß mit ihrer rechten Schulter.
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Aber wo ist der Spitzenpunkt?
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Du sitzt darauf.
Das Phänomen des Umverbindens von Blättern heißt Chirurgie. Die nachfolgende Operation ist die Erzeugung eines Spitzenpunkts aus einem parabolischen Zylinder (dem „Pferd“ von eben):
Nach dem „Eindrücken des Pferdes“: 
Oben befindet sich der Spitzenpunkt.
Der durch Eindrücken einer Fläche entlang eines Segments und Umverbinden der Blätter (eine Chirurgie) erzeugte Spitzenpunkt ermöglicht uns zu verstehen, wie man eine Kugel in eine Cross-Cap (im Französischen auch „Sphäre mit gekreuztem Hut“ genannt) verwandeln kann, indem man eine Kugel mit einer Lockenstäbchenzange eindrückt. 
Der Lockenstäbchenzange wird so zum einfachsten Werkzeug, eine Kugel in eine einseitige Fläche zu verwandeln.
Im Folgenden die Cross-Cap:
Kleine Anekdote: Wie „maschent“ man eine Cross-Cap? Man kann von einer ihrer polyedrischen Darstellungen ausgehen:
Daraus können wir das Maschenmuster in der Nähe eines Spitzenpunkts ableiten:
Heißt das, dass ein einziger Hitzestab automatisch eine zweiseitige Fläche in eine einseitige verwandelt? Nein, siehe folgende Zeichnung: 
Hier haben wir eine Kugel zwischen zwei Schienen eingequetscht. Es bleibt weiterhin eine zweiseitige Fläche. Streiche sie an, du wirst sehen. Du kannst zwei Farben verwenden (bei der Cross-Cap wäre das unmöglich, da sie einseitig ist):
Eine andere Ansicht: 
In dieser Konfiguration zeigt die Kugel die Hälfte ihres Äußeren und die Hälfte ihres Inneren. Falls du dieses Objekt schwer erkennen kannst, hier eine polyedrische Darstellung:
Wenn man solche polyedrischen Darstellungen findet, ist man versucht, die Zerlegung in „kontrahierbare Zellen“ (siehe Topologicon, auf der CD-Lanturlu) anzuwenden, um die Euler-Poincaré-Charakteristik zu berechnen. Die polyedrischen Darstellungen der Kugel (ein einfacher Würfel) oder des Torus ermöglichen die Berechnung ihrer Charakteristik. Für die erste ist sie zwei, für die zweite null. Im Album, Seite 47, findet man den Montageplan eines „Boy-Würfels“, bei dem Kanten dargestellt sind. Dabei kann man dies mit „Profilen mit quadratischem Querschnitt Reynolds“ aus leichtem Material, die man für Regale verwendet, zusammenbauen. Man schneidet die quadratischen Rohre mit der Säge, am besten...