Analytische Darstellung der Boyfläche

f5101 Eine analytische Darstellung der Boy-Fläche J.P. Petit und J. Souriau .

... Im Folgenden die Wiedergabe einer Notiz in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, unterzeichnet von J.P. Petit und J. Souriau, aus dem Jahr 1981.

... Dieses Werk hat eine Geschichte. Bis 1985, als mein Album Topologicon bei Éditions Belin in der Reihe der Aventures d'Anselme Lanturlu erschien, waren Darstellungen der Boy-Fläche in Fachwerken äußerst selten. Gelegentlich fand man Fotos von Modellen, die entweder aus Gips oder aus Hühnerzaun hergestellt waren. Charles Pugh vom Mathematikdepartement der Universität Berkeley ist weltweit unbestrittener Experte für Hühnerzaun. Genau mit diesem Material erhielt er sogar einen finanziell bedeutsamen Preis, als er die Modelle für die Umkehrung der Kugel nach Bernard Morin herstellte; diese Modelle wurden später von Nelson Max digitalisiert und in einen Film verwandelt, der heute in allen mathematischen Abteilungen der Welt herumreist.

... Doch ich halte Hühnerzaun für ein wenig nobles Material, besonders für solch hochrangige wissenschaftliche Themen. Nachdem ich einen plastischen Künstler namens Max Sauze kennengelernt hatte, lernte ich die Technik des kupfernen Drahtes kennen – flexibel, aber gleichzeitig steif –, den Max mit Geschick verband, wobei er darauf achtete, ihn nicht zu stark zu erhitzen, um im Material keine unerwünschten Spannungen zu erzeugen.

... Mein Freund Jacques Boulier, der unter dem Namen Vasselin bekannt war, war damals Professor an den Beaux Arts in Aix-en-Provence. Einmal bot er mir an, einen seiner Kollegen zu vertreten, der ins Ausland gegangen war; ich nahm an und übernahm eine halbe Stelle gemeinsam mit Sauze. Während ich die Objekte erfand, schweißte Max sie zusammen. Unsere Studierenden, die neugierig um uns herumstanden, bemühten sich, uns nachzuahmen. In jenem Jahr war die Abteilung der Beaux Arts in Aix-en-Provence zu einer Art Produktionsfabrik für mathematische Flächen geworden.

... Wenn Sie es nachmachen wollen, ist es gar nicht kompliziert. Sie brauchen einen Spulen von kupfernen Draht, etwa 1,5 mm Durchmesser, maximal 2 mm, sowie eine Schere. Damit können Sie die beiden Kurvenfamilien darstellen, aus denen jede Fläche besteht.

... Das Problem besteht darin, diese Objekte richtig zu formen. Dazu ist es gut, die Verbindungsstellen verschieben zu können, an denen die „Meridiane“ und die „Parallelkreise“ sich schneiden. Eine gute Lösung besteht darin, die beiden Metalldrähte einfach mit Faden zu umwickeln. Es ist fest genug, um dem Objekt Halt zu geben, aber gleichzeitig glatt genug, um Verformungen und Feinabstimmungen zu ermöglichen.

... Erst wenn Sie das Objekt mathematisch Ihren Wünschen entsprechend für vollständig halten, können Sie es jemandem übergeben, der mit Silberlöten geschickt umgeht und die Stäbe schweißt, ohne sie zu stark zu erhitzen – etwas, das Max mit großer Meisterschaft beherrschte.

... Eines Tages brachte ich ein Prototyp der Boy-Fläche mit, nachdem ich herausgefunden hatte, wie Meridiane und Parallelkreise angeordnet werden müssen. Anscheinend konnte man erreichen, dass die Meridiane fast wie eine Familie von Ellipsen aussehen.

... Max kopierte das Objekt sorgfältig nach. Dann ging ich zu Souriau. Sein Sohn (der niemals die Geduld hatte, sein Physikstudium abzuschließen) spielte mit dem Apple II seines Vaters. Ich sagte zu ihm:

• Jérôme, würdest du gerne eine reine mathematische Veröffentlichung unter deinem Namen haben?

• Na, warum nicht? Wen muss ich dafür töten?

• Niemanden. Siehst du dieses Objekt. Nimm ein Geodreieck, messe diese Ellipsen aus und versuche, eine halbempirische Darstellung dieser Fläche zu konstruieren.

• Kann man immer versuchen, gib mal...

... Zwei Tage später war es fertig. Der Artikel wurde rasch in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris akzeptiert und unter unseren beiden Namen veröffentlicht: J.P. Petit und J. Souriau.

... Doch da der Vater Jean-Marie und der Sohn Jérôme heißt, sind alle Mathematiker überzeugt, dass dies ein gemeinsames Werk von Souriau Senior und mir war.

... Die Computerzeichnung der Fläche mit einem kleinen BASIC-Programm von nur wenigen Zeilen überraschte viele Mathematiker, die etwas Komplexeres erwartet hatten. Die Sache hatte eine unangenehme Konsequenz. Der Mathematiker Bernard Morin hatte einen Doktoranden namens Apéry, Sohn des Apéry-Senior, der den unvergesslichen Satz bewiesen hatte, dass die Summe der Kuben ganzer Zahlen eine irrationale Zahl ist. Unter anderem...

... Ich wusste nichts davon. Unsere Fortschritte beunruhigten Morin sehr, besonders, weil ich ihm damals naiv versicherte, dass diese Methode auch die vierohrige Fläche beschreiben könnte, die ihn berühmt gemacht hatte – diejenige, die Pugh mit Hühnerzaun gebaut und Max später digitalisiert hatte usw.

Morin runzelte die Stirn:

• Nein, das ist unmöglich!

... Das werden wir später sehen. Ich bleibe überzeugt, dass es möglich ist. Doch diese Aussage war das Pendant zu der berühmten Antwort, die Archimedes dem römischen Soldaten gab, der ihn bei seinen Überlegungen störte – Noli tangere circuleos meos!
Auf Französisch: „Berühre nicht meine Kreise!“
Hier hieß es eher: „Berühre nicht meine Ellipsen!“

... Später nutzte Apéry meine Entdeckung, dass man der Boy-Fläche ein System von elliptischen Meridianen geben könne, um die erste implizite Gleichung des Objekts zu konstruieren:

f(x, y, z) = 0

... Morin, wütend darüber, dass ich in seinen eigenen mathematischen Arbeiten wie ein Aufrührer erschien, zwang Apéry, in seiner Dissertation zu betonen, dass Sauze den Trick mit den Ellipsen gefunden habe. Max bestreitet es nicht, doch es ist falsch. Der Beweis liegt in meinem Keller: das Modell, das ich Max brachte, damit er es ordentlich anfertigte.

... Schließlich ist all das ziemlich lächerlich. Diese Anekdote soll zeigen, dass Mathematiker nicht klüger sind als Physiker.

... Der Polytechniker Colonna, Pionier in der computergenerierten Bildsynthese, nutzte unsere Gleichungen ohne Nennung ihrer Herkunft. Doch es gibt einen amüsanten Detail: Wenn Sie auf einem Bildschirm die Darstellung der Boy-Fläche sehen, und es ist unsere, wird sie unweigerlich drei leichte „Falten“ in der Nähe ihres Pols aufweisen – ein Fehler bei der Anpassung der Gleichungen. Jérôme, Sohn von Souriau, hatte das etwas hastig gemacht, und ein letzter kleiner Schlag mit dem Eisen in der Nähe des Pols wäre nicht schlecht gewesen. Das ist aber immer noch möglich, falls jemand es tun möchte.

... Die Geschichte der Boy-Fläche ist noch nicht abgeschlossen. Um vollständig zu sein, erwähnen wir noch eine Figur: Carlo Bonomi, ein italienischer Milliardär. Ich hatte ihn bei einer Expedition in das Bermuda-Dreieck kennengelernt (aber das ist eine ganz andere Geschichte). Wir segelten damals mit hoher Geschwindigkeit auf seinem Yacht, von einem Luxus, der den Atem raubte, auf der Suche nach einer versunkenen Pyramide, die in einem Buch von Charles Berlitz erwähnt wurde. Wir fanden die Pyramide nicht, und wir wurden fast von den zahlreichen Haien gefressen, die diese Gegend bevölkerten. Wenn Sie einen Atlas haben, befindet sich der Ort, an dem die verflixte „Atlantische Pyramide“ laut Berlitz sein sollte, im Südwesten eines Riffs namens Cay Sal Balk, etwa fünfzig Meilen südlich von Kuba.

... Zwischen zwei Tauchgängen und zwei Kaviarabenden schlug ich Bonomi vor, eine intensive Produktion der Boy-Fläche zu finanzieren. Die Idee gefiel ihm, und es folgte eine Fortsetzung. Sagen wir, die Boy-Fläche, die heute die Mathematiksaal des Palais de la Découverte in Paris schmückt, wurde von Bonomi bezahlt und von Sauze hergestellt. Der Finanzier dachte daran, eine Ausstellung zu organisieren, bei der die Objekte aus massivem Gold gefertigt wurden. Doch die Sache kam nicht weiter. Überrascht über sein langes Schweigen rief ich in seinen Büros in Mailand an. Leider war er in den Skandal der Loge P2 verwickelt und eingesperrt worden, und sein Interesse an der Topologie war irreversibel geschädigt.

... Die zweiflächige Überlagerung der Boy-Fläche, die das projektive P² darstellt, ist eine Kugel S² (siehe Topologicon). Pugh hat diese Überlagerung mit zwei Schichten Hühnerzaun gebildet – ein Objekt, das in jeder Hinsicht bemerkenswert ist, obwohl ich persönlich den kupfernen Draht und die Darstellung durch Meridiane-Parallelkreise vorziehe. Doch selbst in der reinen Mathematik gilt:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

... Bevor wir die Notiz vorstellen, noch eine letzte Anekdote. Charles Pugh hatte also sieben Modelle aus Hühnerzaun gebaut, was ihm einen bedeutenden Preis einbrachte, und die die aufeinanderfolgenden Schritte der Kugelumkehr beschrieben, über die ich später, wenn ich fünf Minuten Zeit finde, auf der Website berichten werde. Diese Modelle hingen damals an der Decke der Cafeteria des Mathematikdepartements der Universität Berkeley.

... Mathematiker aus der ganzen Welt kamen daher als Pilger, um diese bemerkenswerte Folge zu bewundern. Doch in einer Nacht wurden die Modelle gestohlen, und niemand weiß, was mit den sieben Objekten geschehen ist – sie waren ohnehin strikt unverkäuflich. Welcher Händler hätte eine solche Transaktion akzeptiert? Außer vielleicht ein reicher Amateur, halb Ästhet, halb Mathematiker, der die Aktion finanziert hatte, um sie in einer gesicherten Kellerecke zu lagern, allein der Freude, der einzige Mensch zu sein, der diese achte Weltwunder sehen konnte – selbst wenn es aus Hühnerzaun bestand.

... Pugh, trotz seiner Meisterschaft im Umgang mit dem Material, hatte nicht den Mut, eine neue Serie zu beginnen.

... Wie bereits am Anfang dieser Seite erwähnt, bleibt das Leben von Werner Boy selbst ein Rätsel. Nachdem er die Fläche erfunden hatte, die seinen Namen tragen sollte, verschwand er buchstäblich nach seinem Ausscheiden aus der Universität. Trotz intensiver Suche konnte Hilbert ihn nicht finden, und selbst der Ort seiner Bestattung ist unbekannt.

... Zurück zu den Mathematik. Die folgende Notiz ist relativ leicht zu lesen. Ausgehend von den Formeln 1 bis 8 kann jedes aufmerksame Gymnasiasten eine sehr schöne Darstellung erstellen und überprüfen, dass die Schnitte tatsächlich der Abbildung 5 entsprechen.

C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5. Oktober 1981), Série 1 – 269
GEOMETRIE. – Eine analytische Darstellung der Boy-Fläche. Notiz von Jean-Pierre Petit und Jérôme Souriau, vorgestellt von André Lichnérowicz.

Es wird eine analytische Darstellung der Boy-Fläche vorgestellt, die es erlaubt, diese zu zeichnen.

1. EINLEITUNG.
... Die 1901 vom Mathematiker Werner Boy, Schüler von Hilbert, erfundene Fläche ist den Mathematikern gut bekannt. Sie kann als zentrale Stufe beim Umkehren der Kugel auftreten (siehe [1] und [2]).

... 1979 hatte (J.P.P.) ein Modell aus Metalldraht gebaut, das die Positionen der Meridiane der Fläche deutlich machte. Ein zweiter Arbeitsgang im Jahr 1980 mit dem Bildhauer Max Sauze ermöglichte die Rekonstruktion eines zweiten Modells, bei dem die Kurven in Ebenen lagen und annähernd wie Ellipsen aussahen. Aus einem solchen Modell schien es möglich, eine analytische Darstellung einer Fläche mit der Topologie der Boy-Fläche zu konstruieren, deren Meridiane Ellipsen sind, die durch einen einzigen Pol gehen.

2. DIE ERZEUGUNG DER BOY-FLÄCHE MIT HILFE VON ELLIPSEN.

... Wir setzen den Pol im Ursprung der Koordinaten. An diesem Punkt ist die Fläche tangential an die Ebene (XOY). Sie hat daher die Achse OZ als dreifache Symmetrieachse (siehe Abbildung 1). Die Meridiane sind daher Ellipsen, die in Ebenen Pm liegen. Sei OX1 die Spur einer Ebene Pm in der Ebene XOY. Bezeichnen wir mit m den Winkel (OX, OX1). In dieser Ebene Pm legen wir eine zweite Achse OZ1 senkrecht zu OX1 fest. Bezeichnen wir mit a den Winkel (OZ, OZ1).

Abb. 1 und Abb. 2

... Der erste Parameter dieser analytischen Darstellung ist der Winkel m. Wir betrachten den Winkel a als Funktion von m (die später definiert wird). In der Ebene Pm zeichnen wir nun eine Ellipse, die im Punkt O an OX1 tangential ist (siehe Abbildung 2). Wir wählen die Achsen dieser Ellipse parallel zu den Winkelhalbierenden von X1OZ1. Bezeichnen wir mit A(m) und B(m) die Längen der Achsen dieser Ellipse. Diese Ellipse Em wird durch einen zweiten freien Parameter q erzeugt.

... Zusammenfassend erhalten wir die Koordinaten X(m,q), Y(m,q), Z(m,q des aktuellen Punkts der Fläche.

... In dieser halbempirischen Herangehensweise ermöglichten Messungen, die (J.S.) am Modell durchführte, eine Annäherung an die Funktionen a(m), A(m) und B(m). Die Fläche wurde dann mit dem Computer „Apple-II“ gezeichnet, und es wurden Schnitte bei Z = Konstante erzeugt. Die Untersuchung dieser Schnitte ermöglichte die Bestätigung der topologischen Identität mit der Boy-Fläche. Dies konnte nur durch numerische Experimente (J.S.) erreicht werden, die es erlaubten, die Paare von Parasingularitäten (Auftreten von Paaren kuspider Punkte) zu eliminieren.

... Wir entschieden uns für: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sin (6m - π/3) + 1,98 sin (3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 Sin (6m - π/3) - 1,98 sin (3m - π/6)
(3)

... In dem Koordinatensystem X1 O Z1 sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse Em: (4)

(5)

... In diesem selben Koordinatensystem sind die Koordinaten des aktuellen Punkts der Ellipse: (6)

(7)
und die Koordinaten x, y, z sind gegeben durch:
(8)