f5101 Eine analytische Darstellung der Boy-Fläche J.P. Petit und J. Souriau .
... Im Folgenden eine Wiedergabe einer Notiz in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, unterzeichnet von J.P. Petit und J. Souriau, aus dem Jahr 1981.
... Dieses Werk hat eine Geschichte. Bis 1985, als mein Album Topologicon bei Éditions Belin in der Reihe der Aventures d'Anselme Lanturlu erschien, waren Darstellungen der Boy-Fläche in Fachwerken äußerst selten. Man fand hier und da Fotos von Modellen, die entweder aus Gips oder aus Hühnerdraht hergestellt waren. Charles Pugh vom Mathematikdepartment der Universität Berkeley ist weltweit unbestrittener Experte für Hühnerdraht. Genau mit diesem Material erhielt er sogar einen finanziell bedeutsamen Preis, als er die Modelle herstellte, die Bernards Morins Kugelumkehrung beschreiben, welche später von Nelson Max digitalisiert und in einen Film verwandelt wurden, der in allen Mathematikabteilungen der Welt herumgeht.
... Doch ich finde, dass Hühnerdraht ein wenig unedles Material ist, besonders für solch hochrangige wissenschaftliche Themen. Nachdem ich einen plastischen Künstler namens Max Sauze kennenlernte, begann ich, die Technik des kupfernen Drahtes zu erlernen – flexibel und dennoch steif –, den Max mit Geschick verschweißte, ohne ihn zu stark zu erhitzen, um keine unerwünschten Spannungen im Material zu erzeugen.
... Mein Freund Jacques Boulier, alias Vasselin, war damals Professor an den Beaux Arts in Aix-en-Provence. Eines Jahres bot er mir an, einen seiner Kollegen zu vertreten, der ins Ausland gegangen war, was ich tat, wobei ich mit Sauze eine halbtägliche Stelle übernahm. Während ich die Objekte erfand, verschweißte Max sie. Unsere Studierenden, neugierig um uns herum, bemühten sich, uns so gut wie möglich nachzuahmen. In jenem Jahr war die Abteilung der Beaux Arts in Aix-en-Provence zu einer Art Fabrik für die Serienproduktion mathematischer Flächen geworden.
... Wenn Sie es nachmachen wollen, ist es gar nicht schwierig. Sie brauchen einen Spulenwickler mit kupfernen Draht, etwa 1,5 mm Durchmesser, maximal 2 mm, und eine Drahtschere. Damit können Sie die beiden Kurvenfamilien darstellen, die jede beliebige Fläche bilden.
... Das Problem besteht darin, diese Objekte richtig zu formen. Dazu ist es gut, die Verbindungsstellen – dort, wo Meridiane und Parallelen sich kreuzen – gleiten zu lassen. Eine gute Lösung besteht darin, die beiden Metalldrähte einfach mit Schneiderfaden zu umwickeln. Es ist fest genug, um dem Objekt Halt zu geben, aber auch glatt genug, um Verformungen und Feinjustierungen zu ermöglichen.
... Erst wenn Sie das Objekt mathematisch den eigenen Vorstellungen entsprechend für vollständig halten, können Sie es jemandem übergeben, der mit Silberlötkolben geschickt umgeht und die Stäbe verschweißt, ohne sie zu stark zu erhitzen – etwas, das Max mit Meisterhand konnte.
... Eines Tages brachte ich ein Prototyp der Boy-Fläche mit, nachdem ich herausgefunden hatte, wie Meridiane und Parallelen angeordnet werden müssen. Anscheinend konnte man es so hinbekommen, dass die Meridiane einer Familie von Ellipsen so sehr ähnelten, dass man sie kaum unterscheiden konnte.
... Max kopierte das Objekt sorgfältig nach. Dann ging ich zu Souriau. Sein Sohn (der niemals die Geduld hatte, sein Physikstudium abzuschließen) spielte mit dem Apple II seines Vaters. Ich sagte zu ihm:
– Jérôme, hättest du Lust, eine reine Mathematik-Veröffentlichung unter deinem Namen zu haben?
– Na ja, warum nicht? Wen muss ich dafür töten?
– Niemanden. Sieh dir dieses Objekt an. Nimm ein Geodreieck, messe diese Ellipsen und versuche, eine halbempirische Darstellung dieser Fläche zu konstruieren.
– Kann man immer versuchen, gib her...
... Zwei Tage später war es fertig. Der Artikel wurde rasch in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris angenommen und unter unseren beiden Namen veröffentlicht: J.P. Petit und J. Souriau.
... Doch da der Vater Jean-Marie und der Sohn Jérôme heißt, sind alle Mathematiker überzeugt, dass dies eine gemeinsame Arbeit von Souriau Senior und mir war.
... Die Computerzeichnung der Fläche mit einem kleinen BASIC-Programm von nur wenigen Zeilen überraschte viele Mathematiker, die etwas Komplizierteres erwartet hatten. Die Sache hatte eine unangenehme Nachwirkung. Der Mathematiker Bernard Morin hatte einen Doktoranden namens Apéry, Sohn des Apéry-Senior, der den unvergesslichen Satz bewiesen hatte, dass die Summe der Kuben ganzer Zahlen eine irrationale Zahl ist. Unter anderem...
... Ich wusste davon nichts. Unsere Fortschritte beunruhigten Morin sehr, besonders weil ich ihm damals naiv versicherte, dass diese Methode auch die vierohrige Fläche beschreiben könnte, die ihn berühmt gemacht hatte – diejenige, die Pugh mit Hühnerdraht gebaut und Max digitalisiert hatte usw.
Morin runzelte die Stirn:
– Nein, das ist unmöglich!
... Das werden wir später sehen. Ich bleibe überzeugt, dass es möglich ist. Doch dieser Satz war das Pendant zu der berühmten Antwort, die Archimedes dem römischen Soldaten gab, der ihn bei seinen Gedanken störte: Noli tangere circuleos meos!
Auf Französisch: „Berühre meine Kreise nicht!“
Hier hieß es eher: „Berühre meine Ellipsen nicht!“
... Später nutzte Apéry meine Entdeckung aus, dass man der Boy-Fläche ein System elliptischer Meridiane geben konnte, um die erste implizite Gleichung des Objekts zu konstruieren:
f(x, y, z) = 0
... Morin, wütend, dass ich in seine eigenen mathematischen Arbeiten wie ein Aufrührer hineinplatzte, zwang Apéry, in seiner Dissertation zu betonen, dass Sauze den Trick mit den Ellipsen gefunden habe. Max bestreitete es nicht, doch das ist falsch. Der Beweis liegt in meinem Keller: das Modell, das ich Max brachte, damit er es sauber fertigstellte.
... Schließlich ist das Ganze ziemlich lächerlich. Diese Anekdote soll nur zeigen, dass Mathematiker nicht klüger sind als Physiker.
... Der Polytechniker Colonna, Pionier der Computergrafik, nutzte unsere Gleichungen ohne Nennung ihrer Herkunft in großem Umfang. Doch es gibt einen amüsanten Detail: Wenn Sie auf einem Bildschirm Bilder der Boy-Fläche sehen, und es ist „unsere“, dann zeigt sie unweigerlich drei leichte „Falten“ in der Nähe ihres Pols. Ein Fehler bei der Anpassung der Gleichungen. Jérôme, Sohn von Souriau, hatte es eilig gemacht, und ein letzter kleiner Schlag mit dem Eisen in der Nähe des Pols hätte nicht geschadet. Das ist aber immer noch möglich für jeden, der es möchte.
... Diese Geschichte der Boy-Fläche ist noch nicht abgeschlossen. Um vollständig zu sein, erwähnen wir noch eine Person: Carlo Bonomi, ein italienischer Milliardär. Ich hatte ihn während einer Expedition im Bermuda-Dreieck kennengelernt (aber das ist eine ganz andere Geschichte). Wir fuhren damals mit hoher Geschwindigkeit auf seinem Luxusyacht, die einen Atem raubenden Luxus hatte, auf der Suche nach einer versunkenen Pyramide, die in einem Buch von Charles Berlitz erwähnt wurde. Wir fanden die Pyramide nicht, und wir wurden fast von den zahlreichen Haien, die diese Gegend bevölkerten, aufgefressen. Wenn Sie einen Atlas haben, befindet sich der Ort, an dem diese verfluchte „Atlantische Pyramide“ sein sollte, südwestlich eines Riffs namens Cay Sal Balk, etwa fünfzig Meilen südlich von Kuba.
... Zwischen zwei Tauchgängen und zwei Kaviar-Suppen schlug ich Bonomi vor, eine intensive Produktion der Boy-Fläche zu sponsorieren. Die Idee gefiel ihm, und es folgte eine Fortsetzung. Sagen wir, die Boy-Fläche, die die Mathematikabteilung des Palais de la Découverte in Paris schmückt, wurde von Bonomi bezahlt und von Sauze hergestellt. Der Finanzier plant, eine Ausstellung zu veranstalten, bei der die Objekte aus massivem Gold hergestellt werden sollten. Doch die Sache kam nicht weiter. Überrascht über sein langes Schweigen rief ich in seinen Büros in Mailand an. Leider war er in den Skandal der Loge P2 verwickelt und eingesperrt worden, und sein Interesse an der Topologie hatte irreversiblen Schaden genommen.
... Die zweiflächige Überdeckung der Boy-Fläche, die das projektive P² darstellt, ist eine Sphäre S² (siehe Topologicon). Pugh baute diese Überdeckung mit zwei Schichten aus Hühnerdraht, ein Objekt, das in jeder Hinsicht bemerkenswert ist, obwohl ich persönlich den kupfernen Draht und die Darstellung durch Meridiane-Parallelen vorziehe. Doch selbst in der reinen Mathematik gilt:
– De gustibus et coloribus non disputandum.
... Bevor wir die Notiz vorstellen, noch eine letzte Anekdote. Pugh hatte also sieben Modelle aus Hühnerdraht gebaut, was ihm einen bedeutenden Preis einbrachte, und die die aufeinanderfolgenden Schritte der Kugelumkehrung darstellten, von denen ich später, wenn ich fünf Minuten Zeit habe, auf meiner Website berichten werde, und die an der Decke der Cafeteria des Mathematikdepartments der Universität Berkeley aufgehängt waren.
... Mathematiker aus aller Welt kamen daher als Pilger, um diese erstaunliche Sequenz zu bewundern. Doch in einer Nacht wurden die Modelle gestohlen, und niemand weiß, was aus den sieben Objekten wurde, die ohnehin strikt unverkäuflich waren. Welcher Händler hätte eine solche Transaktion angenommen? Es sei denn, ein reicher Amateur, halb Ästhet, halb Mathematiker, finanzierte die Aktion, um sie in einer versiegelten Kellerecke zu lagern, ganz allein in der Freude, der einzige Mensch zu sein, der diese achte Weltwunder betrachten konnte, selbst wenn es aus Hühnerdraht gebaut war.
... Pugh, trotz seiner Meisterschaft im Umgang mit dem Material, hatte nicht den Mut, eine neue Serie zu beginnen.
... Wie bereits zu Beginn dieser Seite erwähnt, bleibt das Leben von Werner Boy ein Geheimnis. Nachdem er die Fläche erfunden hatte, die seinen Namen tragen sollte, löste er sich buchstäblich auf, nachdem er die Universität verlassen hatte. Trotz seiner Bemühungen konnte Hilbert seine Spur nicht finden, und selbst der Ort seiner Bestattung ist unbekannt.
... Zurück zu den Mathematik. Die folgende Notiz ist relativ leicht zu lesen. Ausgehend von den Formeln 1 bis 8 kann jedes aufmerksame Gymnasiasten eine sehr schöne Darstellung erstellen und überprüfen, dass die Schnitte tatsächlich der Abbildung 5 entsprechen.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5. Oktober 1981) Série 1 – 269
GEOMETRIE. – Eine analytische Darstellung der Boy-Fläche. Notiz von Jean-Pierre Petit und Jérôme Souriau, vorgestellt von André Lichnérowicz.
Es wird eine analytische Darstellung der Boy-Fläche vorgestellt, die es erlaubt, diese zu zeichnen.
1. EINFÜHRUNG.
... Die 1901 vom Mathematiker Werner Boy, Schüler von Hilbert, erfundene Fläche ist den Mathematikern gut bekannt. Sie kann als zentrale Stufe im Umkehrvorgang der Kugel dienen (siehe [1] und [2]).
... 1979 hatte (J.P.P.) ein Modell aus Metalldraht gebaut, das die Positionen der Meridiane der Fläche deutlich machte. Ein zweiter Arbeitsschritt im Jahr 1980 mit dem Bildhauer Max Sauze ermöglichte die Rekonstruktion eines zweiten Modells, bei dem die Kurven in Ebenen lagen und ziemlich nahe an Ellipsen waren. Aus einem solchen Modell schien es möglich, eine analytische Darstellung einer Fläche mit der Topologie der Boy-Fläche zu konstruieren, deren Meridiane Ellipsen sind, die durch einen einzigen Pol gehen.
2. DIE ERZEUGUNG DER BOY-FLÄCHE MIT HILFE VON ELLIPSEN.
... Wir setzen den Pol im Ursprung der Koordinaten. An diesem Punkt ist die Fläche tangential an die Ebene (XOY). Sie hat daher die Achse OZ als dreifache Symmetrieachse (siehe Abbildung 1). Die Meridiane sind daher Ellipsen in Ebenen Pm. Sei OX1 die Spur einer Ebene Pm in der XOY-Ebene. Bezeichnen wir mit m den Winkel (OX, OX1). In dieser Ebene Pm legen wir eine zweite Achse OZ1 senkrecht zu OX1 fest. Bezeichnen wir mit a den Winkel (OZ, OZ1).
Abb. 1 und Abb. 2
... Der erste Parameter dieser analytischen Darstellung ist der Winkel m. Wir betrachten den Winkel a als Funktion von m (die später definiert wird). In der Ebene Pm zeichnen wir nun eine Ellipse, die im Punkt O an OX1 tangential ist (siehe Abbildung 2). Wir wählen die Achsen dieser Ellipse parallel zu den Winkelsymmetralen von X1OZ1. Bezeichnen wir mit A(m) und B(m) die Längen der Achsen dieser Ellipse. Diese Ellipse Em wird durch einen zweiten freien Parameter q erzeugt.
... Zusammenfassend erhalten wir die Koordinaten X(m,q), Y(m,q), Z(m,q des jeweiligen Punkts auf der Fläche.
... Bei dieser halbempirischen Herangehensweise ermöglichten Messungen von (J.S.) am Modell eine Annäherung an die Funktionen a(m), A(m) und B(m). Die Fläche wurde dann mit einem Computer (Apple-II) gezeichnet, und es wurden Schnitte bei Z = konstant erzeugt. Die Untersuchung dieser Schnitte ermöglichte die Bestätigung der topologischen Identität mit der Boy-Fläche. Dies konnte nur durch eine numerische Experimentation (J.S.) erreicht werden, die es erlaubte, die Paare von Parasingularitäten (Auftreten von Paaren von Spitzenpunkten) zu eliminieren.
... Wir entschieden uns für:
(1) A(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) + 1,98 sin(3m – π/6)
(2) B(m) = 10 + 1,41 sin(6m – π/3) – 1,98 sin(3m – π/6)
(3)
... In dem Koordinatensystem X1 O Z1 sind die Koordinaten des Mittelpunkts der Ellipse Em:
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... In diesem gleichen Koordinatensystem sind die Koordinaten des jeweiligen Punkts auf der Ellipse:
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(7)
und die Koordinaten x, y, z sind gegeben durch:
(8)
