Zurück zu dieser Klasse von Homotopien von Einbettungen des Torus in R³. Wir können die beiden gezeigten Objekte leicht durch eine „C-Transformation“ verbinden. Wir nehmen einen Torus und „durchqueren“ ihn an einer Stelle, wodurch eine Linie doppelter Punkte entsteht, die ein Kreis ist: 
Ich habe „zwei Farben“ verwendet: Grau für die Außenfläche des Torus, Weiß für die Innenfläche. Die oben gezeigte Durchquerung (die zu einer der unendlich vielen möglichen Einbettungen des „standard-Torus“ führt) bringt also einen weißen Teil der Fläche hervor.
Betrachten wir dieses Objekt von einem Punkt aus, der auf der Achse des Torus liegt:
Oben sehen wir den inneren Teil (weiß) des Torus, der durch die Durchquerung sichtbar geworden ist. Wir können nun eine „Transformation C“ durchführen und zwei Spitzenpunkte erzeugen: 
Am Punkt, der durch den Pfeil markiert ist, „erdrücken“ wir einen Durchgang. Diese Operation erzeugt zwei Spitzenpunkte C1 und C2:
die wir wie folgt verschieben können:
Es bleibt nur noch eine Transformation C⁻¹ (Zusammenfließen zweier Spitzenpunkte) durchzuführen:
Wir erhalten das Objekt: 
Diese Einbettung des Torus ist homotop zum Standardtorus.
Man sieht, dass die Operation „C“ und ihre Umkehrung „C⁻¹“, die den Raum der Einbettungen auf den Raum der Flächenverschiebungen in R³ erweitern, interessante Dinge ermöglichen. Man kann die Menge aller Verschiebungen klassischer Flächen (Kugel, projektive Ebene, Torus und Klein’sche Flasche) konstruieren. Wie viele solche Klassen gibt es?
Wir haben gesehen, dass Kugel und projektive Ebene zur selben Klasse gehören (ebenso wie die rechte und linke Boy-Fläche). Wie viele Klassen von Verschiebungen des Torus gibt es? Ich glaube, außer einem Irrtum, dass dieses Problem derzeit noch nicht gelöst ist. Kann man mittels C-Operationen von einer Einbettungsklasse des Torus zur anderen wechseln, oder nicht? Intuitiv würde ich sagen, nein, aber das ist nur eine Vermutung.
Eine Konstruktion kann keine Unmöglichkeit beweisen, sondern nur eine Möglichkeit veranschaulichen. Falls jemand Konstruktionen findet, die den Sprung von einer Klasse zur anderen ermöglichen, wäre der Satz faktisch bewiesen. Doch die Tatsache, dass man solche Konstruktionen nicht findet, ist an sich kein Beweis. Das Fehlen eines Beweises ist kein Beweis für das Fehlen. Zu sagen, es gäbe vier Klassen von Verschiebungen des Torus in R³, oder dass es nur eine gäbe, sind beide Vermutungen, bloße Überzeugungen, im gegenwärtigen Stand.
Es ist so, dass Smale zuerst bewiesen hat, dass das Umdrehen der Kugel möglich ist, bevor Phillips die erste Konstruktion gab. Es hätte genauso gut umgekehrt sein können. Aber wer hätte die Idee gehabt, eine solche Aufgabe zu unternehmen, die völlig gegen unsere geometrische Intuition verstößt?
Die Transformation C ermöglicht es, eine Kugel in einen Crosscap zu verwandeln, dann über die Steiner-Romische Fläche in die Boy-Fläche. Siehe den Artikel. Kann sie einen Torus in eine Klein’sche Flasche verwandeln? Logischerweise ja, aber ich habe die Antwort auf diese Frage nicht parat.
Im Vorbeigehen: Warum spricht man von „projektiver Ebene“? Die gezeigten Objekte (einseitig) sind endlich. Antwort von Souriau:
- Auf einer Ebene gibt es „die Gerade im Unendlichen“. Man verklebt einfach diese Ebene entlang der Geraden im Unendlichen.
Die, wie man leicht erkennt, eine geschlossene Kurve ist.
Im Topologicon findet man ein kleines animiertes Bild, einen „Feuilletable“, der zeigt, wie ein Möbiusband mit drei Halbdrehungen in eine Boy-Fläche übergehen kann. Das letzte Bild zeigt diese Fläche ohne einen Kreis. Es genügt, diesen Kreis hinzuzufügen, um die Fläche zu vervollständigen. Eine Boy-Fläche ist also ein Möbiusband plus ein Kreis. Übung: Verwenden Sie die Werkzeuge des Topologicon, um ihre Euler-Poincaré-Charakteristik neu zu berechnen (die den Wert 1 hat).
Umgekehrt könnte man vom Kreis ausgehen und ihn wachsen lassen, während er sich selbst durchdringt, bis er sich an dem Möbiusband mit drei Halbdrehungen verbindet – eine weitere Konstruktion.
Ich habe die Zeichnungen in meiner 55-seitigen Mitteilung wieder gefunden, die ich auf dem psychoanalytischen Kolloquium in Aix-en-Provence (4. und 5. April 1987) über die „Perversion“ gehalten hatte und die in den Protokollen der Organisatoren erscheint. Ich werde diesen Text in einem zukünftigen Dokument mit dem Titel „JPP bei Lacan“ verwenden.
Erstes Bild: Der Kreis, der sich verformt.
Darauf folgt die Anfangsphase der Bildung der Selbstschnittmenge:
Nächste Figur: Erscheinung des Dreifachpunkts:
Ich lasse die Schattierungen weg, da die Fläche nun einseitig wird.
Darauf folgt: Die Fläche ist bereit, sich entlang ihres Randes selbst zu verbinden.
Dort ist das Möbiusband mit drei Halbdrehungen eingezeichnet, das die Fläche vervollständigt:
Nächste Figur: Dasselbe Möbiusband.
Dann die vollständig gebildete Boy-Fläche. Man kann nicht sagen, „man sieht sie von unten“, da eine Boy-Fläche weder Kopf noch Schwanz hat. Sagen wir vielmehr, dass man bei der dargestellten Form ihren Dreifachpunkt sieht.
Darauf folgt ihre Selbstschnittmenge: 
Sie haben also mit eigenen Augen gesehen, wie die Ebene sich auf ihre „Gerade im Unendlichen“ zurückbiegt. Daher ihr Name: „projektive Ebene“, etwas seltsam anfangs. Vielleicht ist dies das erste Mal, dass man Menschen das Unendliche so nah bringt.
Diese Bilder waren vor gut zwanzig Jahren erstellt worden, und dieses Internet-Portal oder dieser CD bietet nun endlich die Möglichkeit, sie zu zeigen. Der Leser mag sich fragen, warum sie nicht in „Pour la Science“ oder „La Recherche“ erschienen sind. Es lag nicht an mangelndem Versand von Artikeln an diese Zeitschriften, doch die Redaktionen fanden das Thema nicht interessant.
Ich hoffe, dass Sie mit diesem „geometrischen Werkzeugkasten“ eilig neue Flächen erfinden werden. Hier ist eine, von Frau Ivars erfunden: Nehmen Sie eine Kugel und drücken Sie in zwei diametral entgegengesetzten Richtungen zwei Strecken gleicher Länge bis zum Kontakt hinein, wobei man sich vorstellt, dass diese Strecken an zwei Stäben verschweißt sind, wie hier:
Wenn die Strecken aufeinandertreffen, erfolgt eine „Chirurgie“. Es entsteht ein Blattkreuz entlang der Strecke, und an jedem Ende zwei Spitzenpunkte. Hier die Fläche in Querschnitt:
Dasselbe in Perspektive:
Am Werkzeugradius...