Surface Verkauf von Jungen

Unbenanntes Dokument

30. Dezember 2009

Ich habe die Boy-Fläche verkauft, die ich geschaffen hatte

Endlich: dieses Objekt mit einer Spannweite von einem Meter und vierzig Zentimetern ist heute Morgen nach Belgien gegangen, gekauft von einem Arzt, Pierre, der zudem ein treuer Leser der Comics von Lanturlu ist und das Objekt bereits durch das Lesen des Albums Topologicon kannte, das kostenlos auf der Website von Savoir sans Frontières heruntergeladen werden kann unter:

****http://www.savoir-sans-frontieres.com/JPP/telechargeables/Francais/topologicon.htm

Der Topologicon wird auf der Wikipedia-Seite erwähnt, aber der Link führt nicht zur Download-Seite des Savoir sans Frontières-Websites, was ziemlich schade ist. Jemand könnte diesen Link hinzufügen, aber ich selbst könnte es nicht, da ich im Oktober 2006 "lebenslang aus der Wikipedia verbannt" wurde (wegen der Enthüllung der Identität eines Mitarbeiters, eines ehemaligen Schülers der École Normale Supérieure, der durch seinen Doktortitel in theoretischer Physik über Superstrings einen Posten in einer Bank erlangt hatte).

Dieses Objekt wurde 25 Jahre lang in der "Salle Pi" des Palais de la Découverte in Paris ausgestellt. Ich habe es vor einigen Jahren wieder eingesammelt, zu einer Zeit, als die Leitung des Palais in dieser Halle einen kleinen Holzsaal installieren wollte. Ich habe es lieber zurückgehabt, bevor es zerquetscht wurde, in einer Reserve aufbewahrt, als eine "verbrauchbare Wissenschaft".

Als im Palais eine Ausstellung über verschiedene Theorien zur Pyramidenkonstruktion stattfand, haben die Workshops eine ziemlich schöne Modell aus 50 cm x 50 cm gebaut, die die Ecken meiner Steinrampe zeigte. Ich wollte das Objekt zurückhaben, aber laut letzter Nachricht ist es verloren gegangen. Oder vielleicht ist es als wissenschaftlicher Verbrauchsgegenstand in den Müll gewandert. Vielleicht kann ein Leser mir weiterhelfen?

Wenn man die Cité des Sciences besucht, wird man von der Überflutung des Virtuellen, von Plasma-Bildschirmen, die dies oder jenes zeigen, beeindruckt. So sehr, dass man versucht ist zu denken: "Warum sollte ich mich in diese Orte begeben, wenn ich alles auch zu Hause über das Internet erreichen kann?"

Menschliche Welten, verbrauchbare Wissenschaften, habt ihr denn eine Seele?

Das ist in der Luft.

Warum ist die Boy-Fläche in der Mathematik wichtig? In der Kategorie der geschlossenen Flächen mit zwei Dimensionen, die keine singulären Punkte haben, gibt es nur vier:

Die ersten drei waren uns bereits lange bekannt. Die vierte war mysteriöser. Es war erst Ende der 70er Jahre, als ich als Bildhauer an der École des Beaux Arts in Aix-en-Provence lehrte, dass ich die erste Darstellung dieser Fläche mit zwei Familien von Kurven konstruierte, die den Mengen der Meridiane-Parallelen der Sphäre S2 entsprachen. Wie man in der Comic-Story sehen wird, ist die von dem deutschen Mathematiker Werner Boy, einem Schüler von Hilbert, erfundene Fläche das Ergebnis der Anwendung der Punkte einer Kugel aufeinander, wobei jeder Punkt mit seinem Antipoden übereinstimmt. So wird der Nordpol mit dem Südpol übereinstimmen. Die Meridiane der Kugel "wirbeln sich auf die Meridiane der Boy-Fläche".

Ich hatte sofort die Idee, eine der Kurvenfamilien mit Ellipsen zu identifizieren.

Zur damaligen Zeit konnte der junge Jérôme Souriau den Apple II seines Mathematik-Professors nutzen. Eines Tages sagte ich zu ihm:

*- Möchtest du für mich eine Arbeit machen, die uns eine Veröffentlichung im mathematischen Bereich einbringen würde? *

Und Jérôme antwortete:

*- Wem muss ich dafür töten? *

Es handelte sich einfach darum, Messungen an den Ellipsen mit einem Winkelmesser und einem Lineal durchzuführen, um Kurven zu konstruieren und ihre Darstellung mit einer Fourier-Reihe zu erstellen. Er vollendete die Arbeit in einem Nachmittag. Der Bericht an die Académie des Sciences von Paris wurde ohne Schwierigkeiten angenommen. Siehe diese Wiedergabe des Berichts

Diese Gleichungen ermöglichten es Colonna, Leiter des ersten Bildsynthese-Workshops der École Polytechnique in Paris, die ersten Bilder des Objekts zu produzieren, ohne jedoch die Gleichungen zu erwähnen, die er für diese Arbeit verwendet hatte (ein Verhalten, das in der "wissenschaftlichen Gemeinschaft" recht üblich ist).

**Bild, erstellt aus der Darstellung JP PETIT - Jérôme Souriau, mit seinen drei hässlichen Falten, die durch eine unvollständige Fourier-Darstellung entstanden sind. **

Danach vermehrten sich die parametrischen Darstellungen. Hier unten die von R. Bryant:

Diese zweite Entdeckung, die einer Parametrisierung mit elliptischen Meridianen, ermöglichte es dem Mathematiker Apéry, einem Schüler des Mathematikers Bernard Morin aus Straßburg, die erste Darstellung der Fläche in impliziter Form, vom sechsten Grad zu konstruieren. (In seiner Doktorarbeit attribuiert er diese Erfindung dem Künstler Max Sauze, Doktor der Schweißtechnik in Silber):

f(x,y,z) = 64 (1 - z)3 z3 - 48 (1 - z)2 z2 (3x2 + 3y2 + 2z2) + 12 (1 - z) z (27 (x2 + y2)2 - 24 z2 (x2 + y2) + 36 Sqrt(2) y z (y2 - 3 x2) + 4z4) + (9x2 + 9y2 - 2z2) (-81 (x2 + y2)2 - 72 z2 (x2 + y2) + 108 Sqrt(2) x z (x2 - 3y2) + 4z4) = 0

erschreckend kompliziert.

**Bild der Boy-Fläche, konstruiert mit der impliziten Darstellung von Apéry, mit den "elliptischen Meridianen" von J.P.Petit **

Auf der Wikipedia-Seite findet man hier eine Animation, inspiriert durch das Flip-Book, das man im Topologicon (1988) findet. Das Gleiche gilt für die polyedrische Darstellung der Fläche (eine weitere Erfindung von mir, die ebenfalls im Album enthalten ist), mit abgerundeten Ecken.

Im Jahr 1988 gab der Mathematiker Brehm eine andere polyedrische Darstellung mit zehn Flächen ab, und ein Theorem besagt, dass das Objekt nicht weniger als 9 Flächen haben kann....

Polyeder von Brehm

*De gustibus et coloribus non disputandum *

Zurück zur Darstellung von Apéry, der einzigen bekannten impliziten Darstellung. Warum ist diese Fläche so disharmonisch (und daher ihre Gleichung so kompliziert)?

Apéry, geleitet von Morin, hat die dreifache Symmetrie des Objekts nicht ausgenutzt. Die Gleichung setzt die OZ-Achse als Symmetrieachse; was ein Fehler ist. Ein besseres Ergebnis wäre erzielt worden, wenn man als Symmetrieachse den Vektor (1, 1, 1) gewählt hätte. Die dreifache Symmetrie hätte dann eine Gleichung erzeugt, die invariant bleibt, wenn man die Koordinaten x, y, z vertauscht. Außerdem, wenn man den Ursprung der Koordinaten am Dreifachpunkt platziert und entscheidet, dass die drei Tangentialebenen der Fläche die Hauptebenen sind, würden die Terme zweiten, ersten und nullten Grades eliminiert, und der Term dritten Grades würde auf

x y z

reduziert. Eine solche Symmetrie wird in der 1844 von Steiner in Rom entdeckten Fläche genutzt, die später die "Römische Fläche von Steiner" genannt wurde, deren Gleichung ist:

Ein Blick auf die Fläche:

Die römische Fläche von Steiner

Sie besteht ebenfalls aus Ellipsen und ist, wie diese, einseitig, also nicht essbar. :

Die Familien von Ellipsen der römischen Fläche...