Jeans-Instabilität und kosmische Gravitation

Projekt Epistémotron 2

Die gravitative Instabilität oder
Jeans-Instabilität

6. Mai 2004

Betrachten wir eine Kugel, die mit „Staub“ gefüllt ist, also einer konstanten Dichte von ruhenden Massenpunkten. Die Kugel hat einen Radius R und stellt eine Masse M dar. Betrachten wir nun eine Masse m, die sich an der Oberfläche dieser Kugel befindet. Schreiben wir das Newtonsche Gesetz auf. In zwei Zeilen Rechnung erhalten wir die Friedmann-Gleichung, die Gleichung der kosmologischen Modelle mit gleichem Namen:

Sie können die drei Lösungstypen dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung, die die Modelle beschreiben, nachvollziehen:

• Zyklich (R in Zykloide)

• Hyperbolisch (R nähert sich einer Asymptote an)

• Einstein-de-Sitter-Modell

Im Jahr 1934 zeigten Milne und Mac Crea, dass die Hauptgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie aus der Newtonschen Physik hervorgehen kann. In den siebziger Jahren hatte ich dasselbe mit der Maxwell-Lösung der Boltzmann-Gleichung, gekoppelt an die Poisson-Gleichung, gemacht. Weiter geht’s...

Wir konzentrieren uns auf die von Einstein und de Sitter konstruierte Lösung in tm:

Wir machen diese Gleichung dimensionslos, indem wir eine charakteristische Länge einführen, die einfach der Anfangswert des Radius ist. Daraus ergibt sich dann eine charakteristische Zeit:

Wenn die Einstein-de-Sitter-Lösung eine verlangsamte Expansion beschreibt, ausgehend von explosiven Anfangsbedingungen, ist sie symmetrisch unter Umkehrung von t in –t. Man erhält zwei symmetrische Parabeln bezüglich eines willkürlich gewählten Zeitpunkts t = 0. Wenn man die linke Kurve „liest“, erhält man die Beschreibung eines gravitativen Kollapses, der sich selbst beschleunigt.

Diesem Phänomen ist die charakteristische Zeit zugeordnet, die man Jeans-Zeit nennt. Man sieht also, dass eine Staubmasse (eine Ansammlung von Teilchen ohne thermische Bewegung), unabhängig von ihrer Ausdehnung 2R, innerhalb einer Zeit implosiert, die nur von der Dichte abhängt.

Wir betrachten nun das entgegengesetzte Phänomen: eine Wolke aus Massen m mit Ausdehnung L, die thermische Bewegung aufweist. Wir vernachlässigen die Gravitationskräfte. Die Wolke zerstreut sich innerhalb einer charakteristischen Zeit, die gleich L geteilt durch den mittleren Wert der thermischen Bewegungsgeschwindigkeit ist, die mit der absoluten Temperatur T verknüpft ist (siehe vorherigen Bericht über die kinetische Gastheorie). Diese Zerstreuungszeit nennen wir td. In einer Gaskugel wirken diese beiden Effekte antagonistisch. Man erkennt dann, dass die Zerstreuungszeit größer ist als die charakteristische Implosions- oder Akkretionszeit, falls die Ausdehnung des „Klumpens“ eine bestimmte charakteristische Länge, die Jeans-Länge Lj, überschreitet.

Diese ist proportional zur thermischen Bewegungsgeschwindigkeit und umgekehrt proportional zur Quadratwurzel der Dichte r. So gilt: „Wenn man erhitzt, stabilisiert man.“

• Was erwärmt (z. B. eine interstellare Gaswolke)? Antwort: heiße Sterne, die UV-Strahlung emittieren.

• Was kühlt ab? Strahlungsverluste (das Gas strahlt Infrarot ab).

Eine interstellare Gaswolke funktioniert dann wie eine Wasserspülung und ist der Sitz eines häomöostatischen Prozesses. Wenn sich das Gas abkühlt (durch Strahlung), wird es gravitativ instabil und führt zur Sternentstehung, die durch UV-Emission das Gas wieder erwärmt und aufbläht. Es handelt sich um einen „antidepressiven“ Mechanismus. Die Sternentstehung wirkt gegenüber dem Gas wie ein Antidepressivum. Dieses Gas in einer Spiralgalaxie ist in einer sehr flachen Scheibe eingeschlossen, die nur einige hundert Lichtjahre dick ist – eine geringe Dicke im Vergleich zu den 100.000 Lichtjahren, die den Durchmesser der Galaxie ausmachen. Die Gaslage hat die Geometrie einer Mikro-Schallplatte. Ihre Dicke ist konstant, einfach weil diese Dicke durch denselben antidepressiven Mechanismus überall reguliert wird.

Einige von Ihnen haben versucht, eine gravitative Instabilität durch Simulation zu modellieren, ohne Erfolg. Denn ihr Gas war zu heiß, oder die Massenpunkte waren nicht massiv genug. Die Jeans-Länge war dann größer als der Durchmesser ihres ursprünglichen Klumpens. Ein analoges Phänomen tritt in 2D auf, wenn man auf einer Kugel arbeitet – was einige von Ihnen getan haben. Sie können sich gerne daran versuchen, die Jeans-Theorie in 2D zu konstruieren. Man findet dann eine charakteristische Länge, die proportional zur thermischen Bewegungsgeschwindigkeit 2D auf der „Oberfläche“ dieser Kugel ist. Die Dichte spielt dort eine ähnliche Rolle wie in 3D, aber ich gebe heute Abend zu, dass ich keine Lust habe, dieses Problem zu klären, das ohnehin wenig praktische Relevanz hat, da das Universum dreidimensional ist und nicht zweidimensional. Doch qualitativ sind die Phänomene ähnlich. Man sollte dann eine Jeans-Länge 2D erhalten. Ist diese größer als der Umfang eines Großkreises der Kugel, entstehen keine Klumpen. Ist die Jeans-Länge dagegen klein im Vergleich zu diesem Umfang: viele Klumpen. Sobald Sie die Berechnungsprogramme für die 2D-Kugel zur Verfügung haben, können Sie damit spielen. D’Agostini hat ein hervorragendes Programm erstellt, das ich im nächsten Ordner installieren werde. Sie erhalten sowohl die ausführbare Datei als auch den Quellcode, um daran herumzubasteln. Es ist in Pascal geschrieben.

Die Expansion kühlt ab. Isentropisch ist sie destabilisierend.

Man sieht, dass die Jeans-Länge mit der Wurzel aus R wächst. Folglich wird ein sich isentrop ausdehnendes System zwangsläufig instabil und fragmentiert. Hätte es keine Photonen, keine kosmische Strahlung gegeben, hätte das Universum bereits in seinem frühesten Alter Klumpen gebildet. Tatsächlich hat die Kopplung von Materie und Strahlung die gravitative Instabilität bis zur Entionisierung des Universums um t = 100.000 Jahre unterdrückt. Wenn man nun die thermische Bewegungsgeschwindigkeit von Wasserstoff nimmt, die knapp unter 3000 K liegt, und die Dichte zu jener Zeit berücksichtigt, erhält man einen bestimmten Wert für die Jeans-Länge. Wenn man dann die Masse berechnet, die in diesen Klumpen enthalten war, findet man die zugehörige Jeans-Masse, die damals etwa 100.000 Sonnenmassen betrug. Es ist daher logisch anzunehmen, dass zum Zeitpunkt der Entkoppelung genau solche Massen, die der Masse von Kugelsternen entsprechen, sich zu getrennten Klumpen zusammengeschlossen haben.

Ein letzter Hinweis: Als ich am Observatorium von Marseille ankam, floh ich vor einer schrecklichen Misere, dem Institut für Fluiddynamik (auch „Laboratorium für Plutomechanik“ genannt). Das Labor, das neben dem heutigen Busbahnhof in Marseille, nahe dem Bahnhof Saint Charles, lag, wurde vor einigen Jahren abgerissen. Sein Direktor ist sechs Fuß unter der Erde. Dort hatte ich 1966 die Instabilität von Vélikhov beseitigt, was bei vielen Leuten Fieber auslöste. Eines Tages, sitzend vor meinem impulsiven MHD-Generator in Kanonenform, sagte ich mir: „Mann, wenn du nicht sofort von hier verschwindest, wirst du wie die anderen.“ Kurz darauf schluckte ich innerhalb weniger Monate ein Werk über die kinetische Gastheorie, den „Chapman und Cowling“, mit dem Titel „The mathematical theory of non uniform gases“, Cambridge University Press. Ein hervorragendes Buch, dessen Lektüre ich niemandem empfehlen kann, ohne zu übertreiben, und das diejenigen, die tiefer in die Theorie einsteigen wollen, mit dem Rechnen mit Dyaden und dyadischen Matrizen vertraut macht. Während der Verdauungsphase hatte ich eine oder zwei Ideen und baute eine Doktorarbeit – ein Rettungsboot für die Seele...