Geodätische Probleme
Sie können Geodäten auf einer Fläche mit Klebeband zeichnen. Frage: Unter welchen Bedingungen kann eine auf einem Kegel gezeichnete Geodäte sich selbst schneiden?
Nehmen wir einen Punkt auf einem Rotationskegel und lassen eine Geodäte in einer Richtung starten, die senkrecht zu einer seiner Erzeugenden verläuft: 
Betrachten wir die symmetrische Erzeugende bezüglich der Rotationsachse dieses Kegels (jeder Kegel kann stets in einen Rotationskegel deformiert werden, ohne dass dies die Darstellung seiner Geodäten verändert). Im Fall der obigen Zeichnung ergäbe sich Folgendes, wenn wir unseren Kegel abwickeln:
Man weiß, dass der Ausschnittwinkel dann die Menge an winkeliger Krümmung darstellt, die im Scheitelpunkt des Kegels konzentriert ist. Die Geodäte verwandelt sich dann in eine Gerade in der Ebene, da die Fläche abwickelbar ist.
Man sieht, dass eine Selbstüberschneidung einer Geodäte nur möglich ist, wenn der Ausschnittwinkel größer als 180° ist, also wenn der Kegel hinreichend spitz ist.
Beim Wiederzusammensetzen des Kegels ergibt sich Folgendes:
Kann eine Geodäte eines Kegels „den Scheitelpunkt erreichen“?
Nur die Erzeugenden des Kegels können dies tun. Jede Geodäte, die auf einem Kegel gezeichnet wird, egal wie nahe sie dem Scheitelpunkt ist, wird sich nur davon entfernen, selbst wenn sie „so gezeichnet erscheint, als würde sie sich annähern“. Es genügt, den Scheitelpunkt mit dem nächstgelegenen Punkt der Geodäte zu verbinden. Die Erzeugende schneidet dann die Geodäte rechtwinklig. Man kann eine Schnittlinie entlang der gegenüberliegenden Geodäte anbringen und die Fläche abwickeln.
Unabhängig davon, wie spitz unser Kegel ist, werden wir nur sukzessive Überschneidungen erhalten.
Können Geodäten unendlich oft überschneiden? Beim Abwickeln des Kegels wirkt es so, als würde die Geodäte „an der Erzeugenden, die den Scheitelpunkt mit dem Treffpunkt verbindet, abprallen“.
Oben ist offensichtlich, dass der „Abprall“ die beiden Teile der Erzeugenden in solche Richtungen sendet, dass sie sich nicht mehr schneiden können. Für mehrere Überschneidungen ist ein sehr spitzer Kegel notwendig.
Doch bei jedem „Abprall“ öffnet sich der Winkel und bleibt schließlich im Sektor 2π – q gefangen. Die Anzahl der Überschneidungen ist also endlich.
Die Erzeugenden des Kegels bilden eine ganz besondere Familie. Aber was versteht man unter einem Kegel?
Man kann annehmen, dass der „Kegel“ dem untenstehenden Bild (links) entspricht. Die Geodäten-Erzeugenden sind dann Halbgeraden.
Man kann aber auch annehmen, dass ein Kegel dem Objekt rechts entspricht. In diesem Fall, was ist dann eine Geodäte? Wenn man die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten meint, könnte man Situationen wie diese erhalten:
Man könnte eine kegelförmige Struktur wählen, bei der jede Erzeugende sich in einer zweiten Erzeugenden auf dem zweiten Halbkegel fortsetzt und nur dort, wodurch ein zusammenhängendes Gebilde entsteht. Man kann kegelförmige Punkte in einem dreidimensionalen Raum vorstellen (siehe Artikel 11 von Geometrical Physics A).
Andere Arten von Singularitäten.
Kuspipunkte sind singuläre Punkte. Man kann weitere solche Punkte identifizieren. Zum Beispiel „kegelförmige Punkte“, bei denen die Rückkehrpunkte der Fläche, „Härtungspunkte“.
Links: Eine Kugel mit einem kegelförmigen Punkt. Rechts: Ein Härtungspunkt.
Man erzeugt einen kegelförmigen Punkt mit einer Spitze. Man könnte die Veränderung daher „Erzeugung eines kegelförmigen Punktes“ P nennen und ihre Umkehrung P⁻¹.
Ebenso entspricht die Erzeugung eines Härtungspunktes der Veränderung H. Tatsächlich folgt die Erzeugung des Härtungspunktes der des kegelförmigen Punktes. Es ist ein kegelförmiger Punkt, dessen Spitzenwinkel null geworden ist. Die Veränderung, die zu einer lokalen Härtung einer Fläche führt, ist also P H, und ihre Umkehrung H⁻¹P⁻¹.
Es gibt weitere Möglichkeiten, eine Fläche zu verändern, beispielsweise durch die Erzeugung eines Diheders. Die Erzeugung eines Diheders sei die Veränderung D. Diese kann unabhängig von anderen Veränderungen durchgeführt werden, vorausgesetzt, sie betrifft eine geschlossene Linie (auf einer regulären Fläche). Das einfachste Beispiel ist die Kugel. Man kann beispielsweise einen „Falten“ entlang ihres Äquators erzeugen. Dabei enthält der Falten eine „linienhafte Krümmung“, ein Thema, das bereits in der Einleitung von Geometrical Physics A behandelt wurde.
Wenn eine solche Veränderung auf einer regulären Fläche ein Segment betrifft, erfahren die Endpunkte jeweils eine Veränderung P.
Nehmen wir eine Kugel, eine „weiche“, verformbare Kugel. Stellen wir uns innen mit einem Segment, einem starren Lineal, vor und drücken die Kugel hinein. Die beiden Enden des Lineals beginnen, mit der Oberfläche in Berührung zu kommen. Effekt „Stift“: Entstehung von zwei kegelförmigen Punkten. Wir drücken weiter. Das Segment kommt mit der Kugel in Berührung, aber der Dieder ist noch nicht entstanden. Wenn es mit der Kugel in Berührung ist, bedeutet das nur, dass auf dieser Kugel ein geradliniger Weg AB existiert. Das impliziert jedoch nicht automatisch, dass die Kugel einen Falten hat. Man kann dies mit dem Aufbau eines Zeltes vergleichen, das aus zwei Stangen besteht. Man stellt die Stangen auf
Wirkung der beiden Veränderungen P. Entstehung zweier kegelförmiger Punkte A und B.
und spannt dann ein Seil zwischen ihnen. Aber wenn der Innenraum des Zeltes leer ist, hängt die Plane nicht entlang des Seils als Falte herab.
Spannung des Seils: Die Fläche erhält ein geradliniges Segment AB. Aber wenn der Wind weht und das Zelt leicht überdruckt ist, kann die Umgebung des Segments entlang des Segments die Stetigkeit der Tangentialebene beibehalten, wie man an der Sicht des Zeltes aus einer anderen Perspektive erkennen kann.
Wenn der Wind aufhört zu wehen, sinken die Wände des Zeltes unter ihrer eigenen Masse zusammen. Sobald sich die Bewegung einstellt, wird die Stetigkeit der Tangentialebene gebrochen. Der Dieder entsteht. Veränderung D.
Wozu kann das gut sein?
Bevor wir zu praktischen Anwendungen übergehen, müssen wir eine weitere Veränderung definieren. Stellen Sie sich einen Kegel vor: Er hat einen kegelförmigen Punkt, der die „winkelhafte Krümmung“ konzentriert. Wenn der kegelförmige Punkt nicht Teil eines „echten“ Kegels ist, dessen Mantelfläche krümmungsfrei ist, ist die Fläche in der Nähe des kegelförmigen Punktes einer Kugel äquivalent. Das bedeutet, dass an einem kegelförmigen Punkt einer Fläche ein „tangentialer Kegel“ existiert.
Aber zurück zu unserem Kegel. Es ist leicht möglich, zwei kegelförmige Punkte nebeneinanderzustellen. Man kann sogar eine solche Fläche physisch herstellen, indem man zwei Ausschnitte in einer Ebene ausführt:
Die Linien, die von A und B ausgehen, sind einfach „Nahtlinien“...