Mathematisches Umstülpen der Kugel
...Sie sind sicherlich von diesem seltsamen Objekt fasziniert worden. Es handelt sich um ein Werk, das mehr als zehn Jahre alt ist. Im Bereich Mathematik werde ich bald eine Präsentation eines zentralen Themas der modernen Mathematik einrichten: das Umstülpen der Kugel. Wie Sie in diesem Abschnitt erfahren werden, kann man eine Kugel umdrehen, ohne die Stetigkeit ihrer Tangentialebene zu unterbrechen, vorausgesetzt, man erlaubt ihr, sich selbst zu durchdringen. Ich war an dieser Entdeckung in den siebziger Jahren beteiligt und war der Erste, der eine verständliche grafische Darstellung davon veröffentlichte (Pour la Science, Januar 1979). Doch unter diesen Bedingungen kann, wenn eine Kugel umgestülpt werden kann, auch ein Würfel dies tun. Das Umstülpen des Würfels ist noch nicht erfunden. Es ist ein Forschungsthema. Vielleicht finden einige von Ihnen Elemente dieser Transformation. Auf jeden Fall ist das oben abgebildete Objekt das zentrale Modell der Transformation. Ich werde einen Ausschnitt bereitstellen, mit dem Sie es nachbauen und auf Ihrem Schreibtisch platzieren können. In einem solchen „zentralen Modell“ ist der Würfel zur Hälfte umgestülpt. Angenommen, seine Oberfläche war außen grün und innen gelb. Eine Folge von Durchdringungen der Flächen bringt den Würfel in diese „Vier-Ohr-Form“, die polyedrische Version des „offenen zentralen Modells“ von Bernard Morin.
...Dieser Würfel zeigt also noch einen Rest dessen, was außen war (die grünen „Ohren“), und das, was durch die Transformation sichtbar geworden ist (die gelben „Ohren“, die dem Inneren des Objekts entsprechen). Der Buchstabe D markiert den doppelten Punkt des Modells. Der Buchstabe Q den vielfachen Punkt (wo vier Flächen sich kreuzen). Es ist bekannt, dass es unendlich viele aufeinanderfolgende Verformungen gibt, die unseren grünen Würfel in dieses objekt mit vierfacher Symmetrie verwandeln. Diese Verformungen sind lediglich die polyedrischen Versionen der unendlich vielen Verformungen, die eine Kugel (grüne Außenseite) in ein Vier-Ohr-Modell (zwei grüne und zwei gelbe Ohren) verwandeln. Es bleibt noch, die einfachsten Zwischenstufen zu finden und zu erfinden, mit möglichst wenigen Flächen, Ecken und Kanten. Ein schönes Forschungsprojekt.
...Dabei wird deutlich, dass auch der Würfel umgestülpt werden kann (wie die Kugel, deren polyedrische Version er ist). Denn wer die genannte Folge besitzt, braucht nur das Modell um 90° um seine Symmetrieachse zu drehen und dann die Folge rückwärts durchzuführen, um einen... gelben Würfel zu erhalten.
