...Sie waren sicherlich
von diesem seltsamen Objekt fasziniert. Es ist eine Arbeit, die über zehn Jahre alt ist.
In der Rubrik Mathematik werde ich bald eine Präsentation
eines Star-Themas der zeitgenössischen Mathematik einrichten: die Umstülpung
der Sphäre. Es ist nämlich so, und das werden Sie in diesem
Abschnitt entdecken, dass man eine Sphäre von innen nach außen umstülpen kann, unter Beibehaltung
der Stetigkeit ihrer Tangentialebene und unter der Bedingung, dass man ihr
die Möglichkeit gibt, sich selbst zu durchdringen. Ich habe an diesem
Abenteuer in den siebziger Jahren teilgenommen und war der Erste,
der eine lesbare grafische Beschreibung davon lieferte (Pour la Science, Januar
1979). Aber unter diesen Bedingungen: Wenn eine Sphäre sich umstülpen kann, kann ein
Würfel das ebenso. Die Umstülpung des Würfels ist noch nicht erfunden.
Das ist ein Forschungsthema. Vielleicht werden einige von Ihnen
Elemente dieser Transformation finden. Wie dem auch sei, das Objekt
oben ist das zentrale Modell der Transformation. Ich werde einen Ausschneidebogen bereitstellen,
der es Ihnen ermöglicht, es zu bauen und auf Ihren Schreibtisch zu stellen. In einem
solchen „zentralen Modell" ist der Würfel zur Hälfte umgestülpt.
Angenommen, seine Oberfläche wäre außen grün und innen gelb gewesen. Eine Abfolge von Durchdringungen
der Schichten führt den Würfel in diese Konfiguration „mit vier
Ohren", die polyedrische Version des „offenen zentralen Modells"
von Bernard Morin.
...Dieser Würfel zeigt also einen Rest
dessen, was sein Äußeres war (die grünen „Ohren"),
und das, was infolge dieser Transformationen entstanden ist (die „Ohren"
in Gelb, die dem Inneren des Objekts entsprechen). Der Buchstabe
D bezeichnet den Doppelpunkt des Modells. Der Buchstabe Q den vierfachen Punkt (wo
sich vier Schichten kreuzen). Man weiß, dass es unendlich viele aufeinanderfolgende
Verformungen gibt, die es ermöglichen, unseren grünen Würfel in dieses Objekt mit
vierfacher Symmetrie zu verwandeln. Diese Verformungen sind nur die polyedrischen
Versionen der unendlichen Verformungen, die es ermöglichen,
eine Sphäre (außen grün) in ein Modell
mit vier Ohren (zwei grüne und zwei gelbe) zu verwandeln. Es bleibt, die einfachsten
Zwischenschritte zu finden und zu erfinden,
mit einem Minimum an Flächen, Ecken und Kanten. Das ist eine hübsche
Forschungsarbeit.
...Nebenbei beweist dies, dass der Würfel
von innen nach außen umgestülpt werden kann (wie die Sphäre, deren
polyedrische Version er nur ist). In der Tat, wer über
die erwähnte Sequenz verfügte, müsste nur das
Modell einer Drehung um 90° um seine Symmetrieachse unterziehen und dann
die Sequenz rückwärts durchlaufen, um zu einem
... gelben Würfel zu gelangen.
