Polyedrische Darstellung eines spitzen Punktes, Berechnung seiner konzentrierten Krümmung.
Polyedrische Darstellungen verschiedener Flächen.
Permutation der spitzen Punkte einer Cross-Cap.
Transformation einer „rechten“ Boy-Fläche in eine „linke“ Boy-Fläche über die Steiner-Römische Fläche.
„Rechts-Links“-Inversion einer Boy-Fläche.
Jean-Pierre Petit
Direktor der Forschung am CNRS
1988–1999
Zusammenfassung:
Es werden einige Elemente vorgestellt, die die Darstellung von Punkten mit konzentrierter Krümmung ermöglichen: „Posikonen“, „Negakonen“ und ihre polyedrischen Entsprechungen: „Posicoins“ und „Negacoins“, die es erlauben, polyedrische Darstellungen verschiedener Flächen zu konstruieren und deren Gesamtkrümmung wiederzufinden. So besteht die polyedrische Darstellung der Steiner-Römischen Fläche aus vier an ihren Kanten angefügten Würfeln, was sie verständlicher macht. Eine polyedrische Darstellung der Boy-Fläche wurde bereits im Topologicon, 1985, Editions Belin, Seiten 48 und 49, in Form eines Zuschnitts, der selbst zusammengesetzt werden muss, gegeben. Auf Seite 46 waren auch polyedrische Darstellungen des Torus und der Klein’schen Flasche abgebildet. Polyedrische Darstellungen der Cross-Cap werden gegeben. Die Gesamtkrümmung verschiedener Einbettungen der projektiven Ebene in R³ – die Boy-Fläche, die Cross-Cap, die Steiner-Römische Fläche – beträgt jeweils 2π. Die polyedrische Darstellung der spitzen Punkte, die als Punkte konzentrierter Krümmung betrachtet werden, ermöglicht eine sehr einfache Berechnung dieser Krümmung. Cross-Cap, Steiner-Römische Fläche und Boy-Fläche erscheinen als „verschiedene Gesichter eines einzigen Objekts“: der projektiven Ebene. Da dies auf den ersten Blick nicht offensichtlich ist, werden geometrische Transformationen konstruiert, die den Übergang von einer zur anderen ermöglichen. Man beginnt mit der Cross-Cap, die man durch Hinzufügen zweier zusätzlicher spitzen Punkte in die Steiner-Römische Fläche überführt (d. h. man wendet hier die generische Modifikation „Erzeugung und Vernichtung von spitzen Punkten“ in dieser Richtung an), und transformiert dann die Steiner-Fläche durch Verschmelzung von Paaren spitzen Punkten in die Boy-Fläche. Nebenbei zeigt man unter Verwendung der Tatsache, dass die Standard-Einbettung der Kugel in ihre antipodale Einbettung (Umdrehung der Kugel) transformiert werden kann, dass die beiden spitzen Punkte einer Cross-Cap durch eine Folge von Einbettungen vertauscht werden können, wodurch verdeutlicht wird, dass diese beiden Punkte äquivalent sind.
VORWORT:
Der Leser findet hier allgemeine Elemente, die auch in der Einleitung von GEOMETRICAL PHYSICS A (Definition der Posicoins, Negacoins usw.) enthalten sind. Wer diesen Abschnitt überspringen möchte, kann einfach hier klicken.
Wenn man auf einer Ebene ein Dreieck aus geraden Strecken zeichnet, beträgt die Summe der Winkel an den Ecken π. Diese Geraden der Ebene können auch anders erzeugt werden: indem man auf der Oberfläche Streifen eines beliebigen Klebebands ohne Falten anbringt. Man nennt diese Wege in der Ebene dann Geodäten. Auf jeder beliebigen Fläche kann man auf diese Weise Geodäten zeichnen, beispielsweise auf einer Autotür oder auf der Motorhaube.
Abbildung 1: Ein Dreieck als Menge von drei Geodäten der Ebene
POSICOINS UND NEGACOINS
Man führe eine Schnitt in einer Ebene durch und klebe die beiden Ränder zusammen, dann zeichne man mit dem Klebeband ein Dreieck, bestehend aus drei Geodäten dieses Kegels.
Abbildung 2: Konstruktion eines Posikons.
Wenn man die beiden Ränder der Oberfläche entlang des vorherigen Schnitts (Abbildung 3) auseinanderzieht, erkennt man leicht mit einem Winkelmesser, dass die Summe der Winkel A, B und C gleich π plus dem Schnittwinkel α ist. Diese Abweichung von der euklidischen Summe nennen wir Krümmung und sagen, dass das Dreieck eine gewisse Menge an Winkelkrümmung α „enthält“. Diese Abweichung bleibt gleich, unabhängig vom Dreieck, solange es den Scheitelpunkt des Kegels enthält. Enthält es ihn nicht, beträgt die Summe π. Wir sagen, die Krümmung ist im Scheitelpunkt M des Kegels konzentriert, der somit ein „Punkt konzentrierter Krümmung“ ist. Da die Summe der Winkel größer ist als die euklidische Summe, sagen wir, dass diese Krümmung positiv ist. In dieser Sichtweise wäre also eine Ebene eine Fläche mit null Krümmung.
Abbildung 3: Das Posikon flach ausgebreitet.
Diese Krümmung ist additiv. Wenn man mehrere solcher Kegel mit Winkeln α, β, γ zusammenklebt, kann man beliebige Dreiecke aus Geodätenbogen zeichnen. Enthält das Dreieck drei Punkte mit konzentrierter Krümmung α, β, γ, so beträgt die Summe seiner Winkel an den Ecken:
π + α + β + γ.
Man kann eine Fläche mit positiver Krümmung als eine Kugel verstehen, die aus einer unendlichen Anzahl von „Posikonen“ besteht. Anstatt Krümmung an verschiedenen Punkten zu konzentrieren, hat man eine gleichmäßige Verteilung der Krümmung über die gesamte Oberfläche. Man sagt, die Kugel sei eine Fläche mit „konstanter Krümmung“ (oder mit „konstanter Dichte an Winkelkrümmung“).
Abbildung 4: Ein Dreieck aus drei Geodätenbögen.
Auf der Kugel sind die Geodäten „große Kreise“. Äquator und Meridiane sind große Kreise, also Geodätenbögen der Kugel. Man kann jedoch keinen Parallelkreis mit einem Klebeband erzeugen. Die Parallelkreise sind keine Geodäten der Kugel. Die Summe der Winkel eines Dreiecks auf der Kugel hängt vom Verhältnis zwischen der Fläche des Dreiecks und der Fläche der Kugel ab. Die Summe der Winkel eines sehr kleinen Dreiecks ist sehr nahe an π.
Ein Dreieck, dessen Fläche ein Achtel der Kugeloberfläche beträgt, hätte eine Winkelsumme von:
A + B + C = 2π
Ein großer Kreis der Kugel kann als „Dreieck“ betrachtet werden, vorausgesetzt, man platziert die drei Eckpunkte beliebig auf diesem Kreis. Die Summe A + B + C beträgt dann 3π. Es enthält die Hälfte der Kugeloberfläche.
Was ist das maximale Ausmaß? Man kann nicht sagen, man „vergrößere“ das Dreieck über diesen großen Kreis hinaus, da die Länge der Geodätenbögen, die seine Seiten bilden, danach abnimmt und sogar gegen null strebt.
Wenn man die gesamte Kugeloberfläche umschlossen hat, erhält man:
A + B + C = 5π = π + 4π
Wir sagen, die
Gesamtkrümmung
der Kugel beträgt 4π.
Abbildung 5: Summe der Winkel. Dreieck aus Geodätenbögen der Kugel.
Die Menge an Krümmung, die in einem Dreieck enthalten ist, entspricht einer einfachen Dreisatzrechnung:
Wir werden nun einen „Negakon“ erzeugen, indem wir dieses Mal einen Winkelbereich α in eine Ebene einfügen, wie in Abbildung 6 gezeigt.
Abbildung 6: Ein „Negakon“
Wenn man den Winkelbereich entfernt, erhält man Folgendes:
Abbildung 7: Der Negakon flach ausgebreitet.
Die Summe der Winkel des Dreiecks beträgt A + B + C = π – α
Wir sagen, dass diese Fläche ein Negakon mit einem
negativen Punkt konzentrierter Krümmung
besitzt. Diese Krümmung ist ebenfalls additiv. Durch Zusammensetzen einer Fläche aus einer Anordnung kleiner Posikone und kleiner Negakone kann man eine Fläche erzeugen, bei der der lokale Krümmungswert beliebig ist.
Abbildung 7 ist eine Fläche mit negativer, verteilter Krümmung. Man sagt auch, dass diese Fläche an jedem Punkt eine
Krümmungsdichte
(winkelbezogen) besitzt. Die Abweichung (negativ) gegenüber dem euklidischen Wert der Winkelsumme hängt hier ebenfalls von der Fläche des Dreiecks ab. Je kleiner diese ist, desto näher liegt die Summe an π.