Zurück zu dieser Homotopieklassengruppe von Einbettungen des Torus in R³. Man kann die beiden gezeigten Objekte leicht durch eine Transformation „C“ verbinden. Man nimmt einen Torus und „durchdringt“ ihn an einer Stelle, wodurch eine Linie doppelter Punkte entsteht, die ein Kreis ist:
Ich habe „zwei Farben“ verwendet: Grau für die Außenseite des Torus, Weiß für die Innenseite. Die oben gezeigte Selbst-Durchdringung (die zu einer der unendlich vielen möglichen Einbettungen des „standard-Torus“ führt) bringt also einen weißen Teil der Fläche hervor.
Betrachten wir dieses Objekt nun von einem Punkt aus, der auf der Achse des Torus liegt:
Oben sehen wir den Teil der Innenseite (weiß), den die Selbst-Durchdringung hervorgebracht hat. Wir können nun eine „Transformation C“ durchführen und zwei Spitzenpunkte erzeugen.
Am Punkt, der durch den Pfeil markiert ist, „verengen“ wir eine Passage. Diese Operation erzeugt zwei Spitzenpunkte C1 und C2:
die man wie folgt verschieben kann:
Es bleibt nur noch eine Transformation C⁻¹ (Zusammenfließen der beiden Spitzenpunkte) durchzuführen:
Man erhält das Objekt:
Diese Einbettung des Torus ist homotop zum Standardtorus.
Man erkennt, dass die Operation „C“ und ihre Umkehrung „C⁻¹“, die den Raum der Einbettungen auf den Raum der Flächenverschiebungen in R³ erweitern, interessante Dinge ermöglichen. Man kann die Menge aller Verschiebungen klassischer Flächen (Kugel, projektive Ebene, Torus und Klein’sche Flasche) konstruieren. Wie viele solche Klassen gibt es?
Wir haben gesehen, dass Kugel und projektive Ebene zur selben Klasse gehören (ebenso wie die rechte und linke Boy-Fläche). Wie viele Klassen von Verschiebungen des Torus gibt es? Ich glaube, außer einem Fehler, ist dieses Problem derzeit noch nicht gelöst. Kann man mittels C-Operationen von einer Einbettungsklasse des Torus in eine andere wechseln, oder nicht? Intuitiv würde ich sagen, nein, aber das ist lediglich eine
Vermutung.
Eine Konstruktion kann keine Unmöglichkeit beweisen, sondern nur eine Möglichkeit veranschaulichen. Wenn jemand Konstruktionen findet, die den Sprung von einer Klasse zur anderen ermöglichen, wäre der Satz faktisch bewiesen. Doch die Tatsache, dass man solche Konstruktionen nicht findet, ist an sich kein Beweis. Das Fehlen eines Beweises ist nicht der Beweis für das Fehlen. Zu sagen, dass es vier Klassen von Verschiebungen des Torus in R³ gibt, oder dass es nur eine gibt, sind
Vermutungen,
einfache Überzeugungen, im gegenwärtigen Stand der Dinge.
Es ist so, dass Smale zuerst bewiesen hat, dass das Umdrehen der Kugel möglich ist, bevor Phillips die erste Konstruktion gab. Es hätte genauso gut umgekehrt sein können. Aber wer hätte die Idee gehabt, ein solches Unternehmen zu starten, das völlig gegen unsere geometrische Intuition verstößt?
Die Transformation C ermöglicht es, eine Kugel in einen Cross-cap zu verwandeln, dann über die Steiner-Römische Fläche in eine Boy-Fläche. Siehe den Artikel. Kann man mit ihrer Hilfe einen Torus in eine Klein’sche Flasche verwandeln? Logisch ja, aber ich habe die Antwort auf diese Frage nicht parat.
Zur Seite: Warum spricht man von „projektiver Ebene“? Die gezeigten Objekte (einseitige Flächen) sind endlich. Antwort von Souriau:
- Auf einer Ebene gibt es „die Gerade im Unendlichen“. Man klebt diese Ebene einfach entlang der Geraden im Unendlichen zusammen.
Die Gerade im Unendlichen ist, wie selbstverständlich, eine geschlossene Kurve.
Im Topologicon findet man eine kleine Animation, ein „Feuilletable“, die zeigt, wie ein Möbiusband mit drei Halbdrehungen in eine Boy-Fläche übergehen kann. Das letzte Bild zeigt diese Fläche, abgesehen von einer Scheibe. Es genügt, diese Scheibe hinzuzufügen, um die Fläche zu vervollständigen. Eine Boy-Fläche ist also ein Möbiusband plus eine Scheibe. Übung: Berechnen Sie mithilfe der Werkzeuge des Topologicon die Euler-Poincaré-Charakteristik (die den Wert 1 hat).
Umgekehrt könnte man von der Scheibe ausgehen und sie wachsen lassen, wobei sie sich selbst durchdringt, bis sie sich an dem Möbiusband mit drei Halbdrehungen wieder verbindet – eine andere Konstruktion.
Ich habe die Zeichnungen in meiner 55-seitigen Mitteilung wiederentdeckt, die ich auf dem psychoanalytischen Kolloquium von Aix-en-Provence (4. und 5. April 1987), das dem Thema „Perversion“ gewidmet war, gehalten hatte, und die in den von den Organisatoren herausgegebenen Protokollen erscheint. Ich werde diesen Text in einem zukünftigen Dokument mit dem Titel „JPP bei Lacan“ verwenden.
Erstes Bild: Die Scheibe, die sich verformt.
Darauf folgt der Beginn der Bildung der Selbst-Schnittmenge:
Nächste Figur: Erscheinung des Dreifachpunktes:
Ich lasse die Schattierungen weg, da die Fläche nun einseitig wird.
Darauf folgt: Die Fläche ist bereit, sich entlang ihres Randes selbst zu verbinden.
Dort wurde das Möbiusband mit drei Halbdrehungen gezeigt, das die Fläche vervollständigt:
Nächste Figur: Dasselbe Möbiusband.
Dann die vollständig gebildete Boy-Fläche. Man kann nicht sagen, wie in den Abbildungen des Topologicon „von unten gesehen“, da eine Boy-Fläche weder Kopf noch Schwanz hat. Man sieht vielmehr ihren Dreifachpunkt.
Darauf folgt: Ihre Selbst-Schnittmenge:
Sie haben also mit eigenen Augen gesehen, wie die Ebene sich an ihrer „Geraden im Unendlichen“ falten lässt. Daher der Name: „projektive Ebene“, etwas seltsam auf den ersten Blick. Vielleicht ist dies das erste Mal, dass man Menschen das Unendliche so nahe bringt.
Diese Bilder waren vor gut zwanzig Jahren zusammengestellt worden, und dieses Internet-Portal oder dieser CD bietet nun endlich die Möglichkeit, sie zu zeigen. Der Leser fragt sich vielleicht, warum sie nicht in „Pour la Science“ oder „La Recherche“ erschienen sind. Es lag nicht an mangelndem Versuch, Artikel an diese Zeitschriften zu schicken, doch die Redaktionen fanden das Thema nicht interessant.
Ich hoffe, dass Sie mit diesem „geometrischen Werkzeugkasten“ eifrig neue Flächen erfinden werden. Hier ist eine, die von Frau Ivars erfunden wurde: Nehmen Sie eine Kugel und drücken Sie an zwei diametral gegenüberliegenden Stellen je einen Stab gleicher Länge ein, bis sie sich berühren, wobei man sich vorstellt, dass diese Stäbe an zwei Stangen befestigt sind, so wie hier gezeigt:
Wenn die Stäbe sich berühren, tritt eine „Chirurgie“ ein. Man erhält eine Kreuzung von Flächen entlang des Stabes und zwei kegelförmige Spitzen an jedem Ende. Hier die Fläche in Querschnitt:
Dasselbe in Perspektive:
Im Werkzeugkasten für die Herstellung von Flächen ein „Klempner-Element“:
Wenn man ein Fluid durch eine Öffnung, die als Eintritt dient, hineinleitet, tritt es am Ausgang außen am Rohr wieder aus. Man kann jedoch auch den Ausgang als Eintritt verwenden. Der Effekt ist dann derselbe. Das Objekt ist eine Art geometrischer Operator, der Außen in Innen verwandelt.
Wenn man dieses „Verbindungsstück“ schließt und es selbst verbindet, erhält man eine Klein’sche Flasche:
Aber hier ist eine andere Konstruktion:
Das Gleiche in Perspektive:
Die Fläche ist nun zweiseitig. Welche ist es?
Durch eine reguläre Homotopie, eine stetige Folge von Einbettungen, verwandelt man sie in Folgendes:
Sie haben eine Kiste mit Griff erkannt, die man nur von innen öffnen kann. Man kann das Objekt nun verändern. Es genügt, einen Faden durch das Loch zu führen und daran zu ziehen:
Das Ergebnis ist:
Es ist ein Torus.
Nun sind Sie dran, sich mit der folgenden Konstruktion auseinanderzusetzen:
hergestellt aus drei solchen „Verbindungsstücken“.
Wir werden in einem anderen Artikel die Bedeutung dieser „Verbindungsstücke“ im Zusammenhang mit dem Umdrehen der Kugel besprechen.