Probleme mit Geodäten

Probleme mit Geodäten.

Sie können Geodäten auf einer Fläche zeichnen, indem Sie Klebeband verwenden. Frage: Unter welchen Bedingungen kann eine auf einem Kegel gezeichnete Geodäte sich selbst schneiden?

Nehmen wir einen Punkt auf einem Rotationskegel und lassen eine Geodäte in einer Richtung starten, die senkrecht zu einer seiner Erzeugenden verläuft:

Betrachten wir die symmetrische Erzeugende bezüglich der Rotationsachse dieses Kegels (jeder Kegel kann stets in einen Rotationskegel deformiert werden, ohne dass dies die Zeichnung seiner Geodäten beeinflusst). Im Fall der obigen Darstellung ergäbe sich Folgendes, wenn wir unseren Kegel abwickeln:

Man weiß, dass der Ausschnittwinkel dann die Menge an konzentrierter Winkelkrümmung am Scheitelpunkt des Kegels darstellt. Die Geodäte verwandelt sich dann in eine Gerade in der Ebene, da die Fläche abwickelbar ist.

Man sieht, dass eine Selbstüberschneidung einer Geodäte nur möglich ist, wenn der Ausschnittwinkel größer als 180° ist, also wenn der Kegel hinreichend spitz ist.

Wenn wir unseren Kegel wieder zusammensetzen, erhalten wir:

Kann eine Geodäte eines Kegels „den Scheitelpunkt erreichen“?

Nur die Erzeugenden des Kegels können dies tun. Jede Geodäte, die auf einem Kegel gezeichnet wird, egal wie nahe sie dem Scheitelpunkt ist, entfernt sich stets von ihm, selbst wenn sie „so gezeichnet erscheint, als würde sie sich ihm nähern“. Es genügt, den Scheitelpunkt mit dem nächstgelegenen Punkt auf der Geodäte zu verbinden. Die Erzeugende schneidet dann die Geodäte rechtwinklig. Man kann eine Ausschnittlinie entlang der gegenüberliegenden Geodäte vornehmen und die Fläche abwickeln.

Egal wie spitz unser Kegel ist, wir erhalten nur sukzessive Überschneidungen.

Können Geodäten unendlich oft übereinander liegen? Wenn man den Kegel abwickelt, verhält sich die Geodäte so, als würde sie „an der Erzeugenden, die den Scheitelpunkt mit dem Treffpunkt verbindet, abprallen“.

Oben ist offensichtlich, dass der „Rückprall“ die beiden Teile der Erzeugenden in solche Richtungen sendet, dass sie sich nicht mehr treffen können. Um mehrere Überschneidungen zu erhalten, benötigt man einen sehr spitzen Kegel.

Doch bei jedem „Rückprall“ öffnet sich der Winkel und bleibt schließlich im Sektor 2π – q gefangen. Die Anzahl der Überschneidungen ist also endlich.

Die Erzeugenden des Kegels bilden eine ganz besondere Familie. Aber was nennen wir eigentlich einen Kegel?

Man kann annehmen, dass der „Kegel“ dem untenstehenden Bild (linkes Bild) entspricht. Die Geodäten-Erzeugenden sind dann Halbgeraden.

Aber man kann auch annehmen, dass ein Kegel dem rechten Objekt entspricht. In diesem Fall, was nennen wir eine Geodäte? Wenn es der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten ist, könnte man zu Situationen wie folgt gelangen:

Man könnte eine kegelförmige Struktur wählen, bei der jede Erzeugende sich in einer zweiten Erzeugenden auf dem zweiten Halbkegel fortsetzt und nur in einer einzigen, wodurch ein zusammenhängendes Ganzes entsteht. Man kann sich dreidimensionale kegelförmige Punkte vorstellen (siehe Artikel 11 von Geometrical Physics A).

Andere Arten von Singularitäten.

Kuspenpunkte sind singuläre Punkte. Man kann weitere solche Punkte finden. Zum Beispiel „kegelförmige Punkte“, bei denen die Rückkehrpunkte der Fläche, die „Härtungspunkte“.

Links: Eine Kugel mit einem kegelförmigen Punkt. Rechts: Ein Härtungspunkt.

Man erzeugt einen kegelförmigen Punkt mit einer Nadel. Man könnte die Veränderung daher „Erzeugung eines kegelförmigen Punktes“ P nennen und ihre Umkehrung P⁻¹.

Ebenso entspricht die Erzeugung eines Härtungspunktes der Veränderung H. Tatsächlich folgt die Erzeugung des Härtungspunktes der des kegelförmigen Punktes. Es ist ein kegelförmiger Punkt, dessen Spitzenwinkel null geworden ist. Die Veränderung, die zu einer lokalen Härtung einer Fläche führt, ist also P H und ihre Umkehrung: H⁻¹ P⁻¹.

Es gibt weitere Möglichkeiten, eine Fläche zu verändern, zum Beispiel durch Erzeugung eines Diheders. Die Erzeugung eines Diheders sei die Veränderung D. Diese kann unabhängig von anderen Veränderungen durchgeführt werden, vorausgesetzt, sie betrifft einen geschlossenen Weg (auf einer regulären Fläche). Das einfachste Beispiel ist die Kugel. Man kann beispielsweise einen „Falten“ entlang ihres Äquators erzeugen. Dabei enthält die Falte eine „linienhafte Krümmung“, ein Thema, das bereits in der Einleitung von Geometrical Physics A behandelt wurde.

Wenn diese Veränderung auf einer regulären Fläche ein Segment betrifft, erfahren die Endpunkte jeweils eine Veränderung P.

Nehmen wir eine Kugel, eine „weiche“, verformbare Kugel. Stellen wir uns innerhalb mit einem Segment, einer starren Regel, und drücken die Kugel hinein. Die beiden Enden der Regel beginnen, mit der Oberfläche in Berührung zu kommen. Effekt „Nadel“: Auftreten von zwei kegelförmigen Punkten. Wir drücken weiter. Das Segment kommt mit der Kugel in Berührung, aber der Dieder ist noch nicht entstanden. Wenn es mit der Kugel in Berührung ist, bedeutet das lediglich, dass auf der Kugel ein gerader Weg AB existiert. Das impliziert jedoch nicht automatisch, dass die Kugel eine Falte hat. Man kann dies mit dem Aufbau eines Zeltes vergleichen, das mit zwei Stangen versehen ist. Man setzt die Stangen auf

Effekt der beiden Veränderungen P: Erzeugung zweier kegelförmiger Punkte A und B.

dann spannt man ein Seil, das sie verbindet. Aber wenn der Innenraum des Zeltes leer ist, hängt die Plane entlang des Seils nicht als Falte.

Spannung des Seils: Die Oberfläche erhält eine gerade Strecke AB. Aber wenn der Wind weht und das Zelt leicht überdruckt ist, kann die Umgebung der Strecke entlang der Strecke die Stetigkeit der Tangentialebene bewahren, was sich in der Sichtweise des Zeltes in einem anderen Winkel zeigt.

Wenn der Wind aufhört zu wehen, sacken die Wände des Zeltes unter ihrer eigenen Masse zusammen. Sobald sich die Bewegung einstellt, wird die Stetigkeit der Tangentialebene unterbrochen. Der Dieder entsteht. Veränderung D.

Wozu kann das gut sein?

Bevor wir zu praktischen Anwendungen übergehen, müssen wir eine weitere Veränderung definieren. Stellen Sie sich einen Kegel vor: Er hat einen kegelförmigen Punkt, der die „Winkelkrümmung“ konzentriert. Wenn der kegelförmige Punkt nicht Teil eines „echten“ Kegels ist, dessen Mantelfläche keine Krümmung aufweist, ist die Fläche in der Nähe des kegelförmigen Punktes einer Kugel äquivalent. Das bedeutet, dass an einem kegelförmigen Punkt einer Fläche ein „tangentia­ler Kegel“ existiert.

Aber zurück zu unserem Kegel. Es ist leicht, zwei kegelförmige Punkte nebeneinander zu platzieren. Man kann sogar eine solche Fläche physisch herstellen, indem man zwei Ausschnitte in einer Ebene ausführt:

Die Linien, die von A und B ausgehen, sind einfach „Nahtstellen“ oder „Klebestellen“. Man kann sie entfernen:

Man kann die kegelförmigen Punkte zusammenführen, wodurch dieser „Doppelkegel“ zu einem einzigen Kegel wird, dessen Spitze eine Menge an Winkelkrümmung enthält, die der Summe der Krümmungen in den beiden zusammengeführten kegelförmigen Punkten entspricht.

q₁ + q₂

Man kann daher eine neue Veränderung „Zusammenführung kegelförmiger Punkte“ betrachten:

Conf P

Mit ihrer Umkehrung:

(Conf P)⁻¹

Nehmen Sie nun eine Kugel und drücken acht Segmente hinein. Dadurch entstehen acht Dieder und sechzehn kegelförmige Punkte. Man kann die kegelförmigen Punkte paarweise zusammenführen und erhält … einen Würfel.

Wir wissen nun also, wie man eine Kugel in einen Würfel und umgekehrt verwandeln kann. Ebenso hilft uns dies, polyedrische Darstellungen von Flächen zu konstruieren. Nun „blasen“ wir unseren Würfel auf, wie die Plane des Zeltes eben:

Die Kanten sind verschwunden. Man erhält ein Ergebnis, das man auch erreichen würde, indem man acht „Stöcke“ in die Kugel hineinsteckt.