neue Kosmologie Univers Zwillinge
Vorwort zum 1994 in der Zeitschrift Nuovo Cimento veröffentlichten Artikel
...Der Ausgangspunkt dieser Arbeit liegt im Jahr 1977. Zwei Notizen in den Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris:
J.P. Petit: "Enantiomorphe Universen mit entgegengesetzten Zeitpfeilen", CRAS vom 8. Mai 1977, Bd. 285, S. 1217–1221
J.P. Petit: "Universen in Wechselwirkung mit ihrem Spiegelbild in der Zeit", CRAS vom 6. Juni 1977, Bd. 284, Serie A, S. 1413–1416
...In dem folgenden Artikel hatten wir versucht, die punktweise Beziehung (involutive Abbildung) zwischen den Punkten der Umgebung der Erde (auf kosmologischer Skala) und den konjugierten Punkten des zweiten Universums herzustellen (das wir hier als „Zwillingsuniversum“: twin universe, oder „Schattenuniversum“: shadow universe, oder „Geisteruniversum“: ghost universe bezeichnen, Begriffe, die wir im Geiste als gleichwertig betrachten), indem wir eine Antipodallage-Beziehung verwendeten, die eine Ausgangshypothese bezüglich der Topologie des geometrischen Objekts implizierte. Später erkannten wir jedoch, dass dies nicht notwendig war, da man die lokale Struktur (F, F*) als zweifache Überlagerung einer „Knochenstruktur“ definieren konnte. Die Struktur ist dann die einer zweifachen Überlagerung des projektiven Raums P3, was äquivalent ist zu drei Dimensionen des projektiven Raums P2, der zwei Dimensionen bekannt ist; die bekannteste Darstellung ist daher die 1902 vom österreichischen Mathematiker Werner Boy entdeckte Fläche, siehe Abbildung 184 (im Prinzip eine Animation, sobald die Website vollständig ist).
...Boy war ein Schüler des großen Mathematikers Hilbert, der sich sehr zufrieden mit der Erfindung seines Schülers zeigte. Zur kleinen Geschichte: Nach seiner Erfindung verließ Boy die Universität, und man hörte nie wieder von ihm. Alle von Historikern unternommenen Bemühungen, seine Spur zu finden, waren erfolglos. Es ist unbekannt, ob er an einer schlechten Grippe starb oder als Klempner sein Leben beendete.
...Geometer wissen, dass man alle Punkte einer Sphäre S2 gemäß einem projektiven P2 zur Deckung bringen kann, wie in der folgenden Abbildung 10 des Artikels erwähnt. Der Nordpol wird dabei mit dem Südpol zur Deckung gebracht, und der Äquator wickelt sich selbst auf dem sogenannten Pseudo-Äquator der Boy-Fläche auf, der ebenfalls angezeigt ist. Diese zweifache Überlagerung ist in Abbildung 11 des Artikels dargestellt. Man beachte, zumindest in zwei Dimensionen, dass diese Operation enantiomorphe Objekte, also Spiegelbilder, zur Deckung bringt. Abbildungen 12 und 13 sind didaktische Bilder, die zeigen, wie die Klumpen in den Lücken des antipodalen Bereichs Platz finden würden.
...Dieses System der zweifachen Überlagerung kann auf drei und sogar vier Dimensionen erweitert werden, mit Sphären S3 und S4, die jeweils die projektiven Räume P3 und P4 überlagern.
Bevor wir weitergehen, möge der Leser sich mit der Geometrie dieser seltsamen Boy-Fläche vertraut machen. Er findet auch verschiedene Varianten des Objekts im Topologicon (Ed. Belin, 1984).
...Was den Leser sicherlich überraschen wird, ist die Tatsache, dass diese Fläche sich selbst überkreuzt entlang einer Menge von Selbstschnitten, die eine dreiblättrige Kurve bildet, die an eine Schiffsschraube erinnert:
...Auf dieser Zeichnung links wurde eine Öffnung angebracht, um den dreifachen Punkt zu zeigen, an dem drei Flächen sich kreuzen. Diese Fläche scheint wirklich außergewöhnlich zu sein. In Wirklichkeit ist dieses Objekt ein hervorragendes Beispiel, um das Konzept des Darstellungsraums (3D) zu veranschaulichen, das oben erwähnt wurde.
...Der dreifache Punkt T und die Kurve der Selbstschnitte entstehen ausschließlich durch die Art und Weise, wie der projektive P2 in R3 dargestellt wird. Eine Sphäre, ein Torus können in R3 eingebettet werden, d. h., sie lassen sich topologisch äquivalente Darstellungen zeigen, bei denen die Oberfläche sich nicht selbst überkreuzt. Es ist jedoch unmöglich, den projektiven P2 in R3 einzubetten. Man kann ihn nur einführen. Die obige Zeichnung (die Boy-Fläche) ist daher eine Einführung des projektiven Raums in R3. Eine Einführung eines zweidimensionalen Objekts ist eine Darstellungsart in R3, bei der eine Linie doppelter Punkte (die Kurve der Selbstschnitte) auftritt, entlang derer zwei Tangentialebenen vorhanden sind, sowie eine gewisse Anzahl von dreifachen Punkten, an denen drei Flächen sich schneiden. Die Boy-Fläche ist nur eine von unendlich vielen Möglichkeiten, den projektiven P2 in R3 einzuführen. Andere finden sich in einem Artikel, der in der Website enthalten sein wird, mit dem Titel „Die verschiedenen Gesichter der projektiven Ebene“.
...Es ist ziemlich einfach, Bilder der Boy-Fläche durch eine von uns erfundene und veröffentlichte parametrische Darstellung zu erhalten.
---> Der Leser findet im Unterbereich MATHEMATIQUES unter anderem die Wiedergabe der Notiz, die 1981 an der Académie des Sciences de Paris veröffentlicht wurde, gemeinsam mit J. Souriau (nein, das ist nicht der berühmte Mathematiker, sondern sein Sohn Jérôme, der später Informatiker wurde), mit der Referenz:
„Die analytische Darstellung der Boy-Fläche“, Notiz in den Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, Band 293 (5. Oktober 1981), Serie 1, S. 269–272
Es wird gezeigt, dass die Fläche dann elliptische Meridiane besitzt. Diese Eigenschaft ermöglicht eine einfache Zeichnung. Im Anschluss daran der Programmcode, der auf der Titelseite meines Comic-Bandes Topologicon steht. * *
BASIC-Programm
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6MU -P3)*
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM HIER SIND DIE 3 KOORDINATEN
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM ANWEISUNG ZUM ANZEIGEN DER PUNKTE
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
...Zur Erinnerung: Es war gerade diese Entdeckung der Möglichkeit, diese Fläche mittels elliptischer Meridiane darzustellen, die dem Mathematiker Apéry später ermöglichte, die erste implizite Darstellung sechsten Grades zu erhalten:
- f(x, y, z) = 0*
die wir hier nicht wiedergeben werden (sie ist ohnehin ziemlich kompliziert, und wir sind überzeugt, dass einfachere existieren, aber dies wird Gegenstand eines anderen Dokuments sein, das in der Website MATHEMATIQUES enthalten sein wird).
...Die Klein’sche Flasche ist den Lesern bekannter. Es ist ebenfalls unmöglich, sie in R3 einzubetten. Sie erscheint dann in ihrer klassischsten Form als eine Einführung mit einer Schnittmenge, die eine einfache geschlossene Kurve ist.
...Die zweifache Überlagerung der Klein’schen Fläche ist ein Torus T2, ebenso wie die zweifache Überlagerung der Boy-Fläche (projektiver P2) eine Sphäre S2 ist. Der interessierte Leser findet eine dreidimensionale Modellierung der Boy-Fläche in einer der Säle des Palais de la Découverte in Paris, die wir vom Künstler Max Sauze auf Basis eines rustikaleren Modells, das wir selbst hergestellt hatten, anfertigen ließen.
...Bei diesen Operationen der zweifachen Überlagerung wickeln sich die Meridiane und Parallelen der Objekte auf sich selbst. Man kann beispielsweise zeigen, was mit den „Parallelen“ des Torus geschieht (die ebenfalls im Einbettungsmodell dargestellt sind):
...Bei dieser Einbettung des Torus sind die parallelen Kurven offensichtlich keine Geodäten der Oberfläche (außer dem „Gurgelkreis“). Ähnliche Situation bei den Meridianen des Torus, die Geodäten ihres Standard-Einbettungsmodells sind:
...Im Anschluss beide übereinander:
...Wir werden diese Themen in einem Text erneut aufgreifen...