Das Problem der fehlenden Masse (p3)
4) Lösung mit kugelsymmetrischer Form
… Im Jahr 1916 leitete Eddington eine stationäre Lösung mit kugelsymmetrischer Form ab, die die Vlasov- und Poisson-Gleichungen kombinierte. Er nahm an, dass das Geschwindigkeitsellipsoid kugelsymmetrisch und auf den Mittelpunkt des Systems ausgerichtet war.
Abbildung 1 (ga3114): Geschwindigkeitsellipsoid, das einer Eddington-artigen Lösung entspricht.
Eddington leitete die folgende Beziehung zwischen der Massendichte und dem Gravitationspotential ab:
(20)
die eine stationäre Verteilung von Materie in einem kollisionsfreien Gas in einem Gravitationspotential Ψ darstellt, in dem die Gravitationskraft die Druckkraft ausgleicht. Wir nehmen dieselbe Art von Lösung für das antipodale Gebiet an:
(21)
Daher müssen wir die folgende Gleichung lösen:
(22)
Setzen wir
(23)
Einführung der folgenden dimensionslosen Größen:
(24)
Wir erhalten
(24 bis)
die numerisch gelöst werden kann. Wir können folgende Anfangsbedingungen wählen:
φ'₀ = 0
φ"₀ = 10
λ = 10
Abbildung 2: Kugelsymmetrische Eddington-artige Lösung. Das Gravitationspotential
Abbildung 3: Kugelsymmetrische Eddington-artige Lösung. Massendichten. Wenn ein Haufen in einem Faltenbereich existiert, existiert in dem konjugierten Bereich des zweiten Faltenbereichs ein damit verbundener diffuser Halo.
Originalversion (Englisch)
The missing mass problem (p3)
4) Spherically symmetric solution
...In 1916 Eddington derived a spherically symmetric steady-state solution, combining the Vlasov and the Poisson equations. He assumed that the ellipsoid of the velocities was spherically symmetric and pointed towards the center of the system.
Figure 1 (ga3114): Ellipsoid of velocities corresponding to an Eddington-type solution.
Eddington derived the following relation between the mass density and the gravitational potential
(20)
which represents a steady-state distribution of matter in a collision-free gas, in a gravitational potential Ψ, in which the gravitational force balances the pressure force. Let us take the same kind of a solution for the antipodal region
(21)
So that we have to solve the following equation
(22)
Take
(23)
Introduce the following adimensional quantities :
(24)
We get
(24)
which can be solved by numerical computation. We can take the following initial conditions
φ'₀ = 0
φ"₀ = 10
λ = 10
Figure 2 : Spherically symmetric Eddington-type solution. The gravitational potential
Figure 3 : Spherically symmetric Eddington-type solution. Mass densities. If a cluster exists in one fold, an associated diffuse halo exists in the conjugated region of the second fold.