Materie-Geister-Materie Astrophysik. 2:
Konjugierte stationäre Metriken. Exakte Lösungen. (S. 4)
- Konjugierte Skalarkrümmungen.
Aus dem allgemeinen Feldgleichungssystem (1) + (2) erhalten wir:
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R* = - R
In zwei konjugierten Punkten M und M*, die zu den Falten F und F* gehören, sind die Skalarkrümmungen R und R* entgegengesetzt. Wir werden solche Geometrien konjugierte nennen. Wir können versuchen, dieses Konzept durch ein didaktisches Bild zu veranschaulichen. Betrachten Sie Abbildung 1. Oben befindet sich ein geglätteter „Posikon", unten ein „geglätteter Negakon", einander zugewandt. Ein geglätteter Posikon wird aus einem Kegelstumpf aufgebaut, der entlang eines Kreises mit einem Teil einer Kugel (Oberfläche konstanter Krümmungsdichte) verbunden ist.
Abb. 1: Didaktisches Bild konjugierter Geometrien (R* = - R)
Die Masse M befindet sich in der Falte F. Die Falte F* ist leer.
Gezeigt: ein Paar konjugierter Punkte (M, M*).
Der Pferdesattel ist das Äquivalent eines Teils einer Kugel für negative Krümmung (Oberfläche konstanter Winkelkrümmungsdichte). Eine Kugel enthält eine Gesamtkrümmung gleich 4p. Ein Teil auf einer Kugel enthält einen Betrag an Winkelkrümmung q, der
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beträgt.
Ein Kegel ist eine Oberfläche, die einen (Winkel-)Punkt S konzentrierter Krümmung enthält, entsprechend einer positiven Winkelkrümmung q > 0. Wir bauen ihn gemäß Abbildung 2 auf.
Abb. 2: Aufbau eines „Posikons".
Definition der im Scheitel des Kegels enthaltenen Winkelkrümmung: Zeichnet man ein Dreieck mit drei Geodäten, so gibt es zwei Fälle. Enthält es den Scheitel nicht, ist die Summe der Winkel die euklidische Summe p. Enthält es den Scheitel, ist diese Summe p plus der entsprechenden punktuellen Krümmung q. Siehe Abbildung 3.
Abb. 3): Punktuelle positive Winkelkrümmung am Scheitel eines (Posi)Kons gelegen.
Ebenso können wir einen „Negakon" wie folgt aufbauen:
.
Abb. 4: Aufbau eines „Negakons" mit punktueller negativer Krümmung, in S gelegen.
Wir können eine Menge kleiner Posikone aufbauen, entsprechend elementaren Krümmungen dqi, und diese Objekte zusammenkleben. Siehe Abbildung 5.
Abb. 5: Menge elementarer Posikone.
Die Winkelkrümmung ist eine additive Größe. Wenn die Anzahl der Elemente gegen unendlich strebt und die dqi gegen null streben, strebt das globale Objekt gegen eine begrenzte reguläre Oberfläche. Auf jedem Teil der Oberfläche können wir die Winkelkrümmung messen (die Summe der Winkel dqi). Wir können auch eine lokale Winkelkrümmungsdichte wie folgt definieren:
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Dann strebt diese Menge verbundener elementarer Posikone gegen eine reguläre Oberfläche mit Tangentialebene. Wenn C(M) auf einer Oberfläche konstant und positiv ist, ist sie eine Kugel oder ein Teil einer Kugel. Die integrierte Winkelkrümmungsdichte über die Oberfläche der Kugel ergibt ihre Gesamtkrümmung 4p. Wenn C(M) null ist, ist die Oberfläche lokal flach (Ebene, Wand eines Kegels, Zylinder zum Beispiel).
