Zweierwelt-Kosmologie Materie, Geistermaterie, Astrophysik. 2: Konjugierte stationäre Metriken. Exakte Lösungen. (p4)
3)Konjugierte skalare Krümmungen.
Aus dem allgemeinen Feldgleichungssystem (1) + (2) ergibt sich:
(58)
R* = - R
In zwei konjugierten Punkten M und M*, die jeweils den Falten F und F* angehören, sind die skalaren Krümmungen R und R* entgegengesetzt. Wir nennen solche Geometrien konjugiert. Wir können dieses Konzept anhand eines pädagogischen Bildes veranschaulichen. Betrachten Sie Abbildung 1: Oben ein „Posikone“ glatt; unten ein „Negakone“ glatt, gegenüberliegend. Ein glattes Posikone wird aus einem abgeschnittenen Kegel gebaut, der entlang eines Kreises mit einem Teil einer Kugel (Fläche mit konstanter Krümmungsdichte) verbunden ist.
Abbildung 1: Pädagogisches Bild der konjugierten Geometrien (R = –R). Die Masse M befindet sich in der Faltung F. Die Faltung F ist leer.
Dargestellt: ein Paar konjugierter Punkte (M, M*).
Die Sattelform entspricht für eine negative Krümmung einer Kugelportion (Fläche mit konstanter Winkelkrümmungsdichte). Eine Kugel enthält eine Gesamtkrümmung von 4π. Eine Kugelportion enthält eine Menge an Winkelkrümmung q, gegeben durch:
(59)
Ein Kegel ist eine Fläche, die einen Punkt mit konzentrierter Winkelkrümmung S enthält, entsprechend einer positiven Winkelkrümmung q > 0. Wir bauen ihn entsprechend Abbildung 2.
Abbildung 2: Konstruktion eines „Posikons“.
Definition der Winkelkrümmung, die im Scheitelpunkt des Kegels enthalten ist: Wenn man ein Dreieck aus drei Geodäten zeichnet, gibt es zwei Fälle. Wenn es den Scheitelpunkt nicht enthält, ist die Summe der Winkel die euklidische Summe π. Wenn es den Scheitelpunkt enthält, beträgt diese Summe π plus die entsprechende punktuelle Krümmung q. Siehe Abbildung 3.
Abbildung 3: Punktuelle positive Winkelkrümmung
im Scheitelpunkt eines (Posi)kegels.
Ebenso können wir ein „Negakon“ konstruieren, wie folgt:
Abbildung 4: Konstruktion eines „Negakons“ mit punktuelle negativer Winkelkrümmung, im Punkt S.
Wir können ein Set kleiner Posikone konstruieren, die elementaren Krümmungen dqi entsprechen, und diese Objekte zusammenkleben. Siehe Abbildung 5.
Abbildung 5: Set von elementaren Posikonen.
Die Winkelkrümmung ist eine additive Größe. Wenn die Anzahl der Elemente gegen unendlich geht und die dqi gegen Null streben, nähert sich das gesamte Objekt einer begrenzten, glatten Fläche. Auf jedem Bereich dieser Fläche können wir die Winkelkrümmung messen (die Summe der Winkel dqi). Wir können auch eine lokale Winkelkrümmungsdichte wie folgt definieren:
(60)
Dann nähert sich dieses Set von zusammengefügten elementaren Posikonen einer glatten Fläche mit Tangentialebene. Wenn C(M) konstant und positiv auf einer Fläche ist, handelt es sich um eine Kugel oder eine Kugelportion. Das integrierte Winkelkrümmungsdichtes über die Kugelfläche ergibt ihre Gesamtkrümmung von 4π. Wenn C(M) null ist, ist die Fläche lokal flach (Ebene, Wand eines Kegels, Zylinder usw.).