Univers-Zwillerkosmologie Materie Materie-Geist Astrophysik. 2: Konjugierte stationäre Metriken. Exakte Lösungen. (p5)
Diese Operation kann auf verbundene Negacones (negative Winkelkrümmungsdichte) erweitert werden. Für eine euklidische Fläche gilt C(M) = 0 überall. Mit elementaren Negacones und kleinen Bereichen einer Ebene kann man jede reguläre Fläche bauen, wobei die Winkelkrümmungsdichte C(M), positiv, negativ oder null, eine stetige Funktion des Punktes M ist. Wir können nun einen abgeschnittenen Posicone bauen und ihn an einen Bereich einer Kugel anschließen. Die Stetigkeit der Tangentialebene ist gewährleistet, wenn die Winkelkrümmungen q gleich sind. Siehe Abbildung 6.
Abb .6 : Erstellung eines "glatten Posicones".
Eine Fläche mit konstanter negativer Winkelkrümmung wird Sattel genannt. Siehe Abbildung 7. Auf einer solchen Fläche kann man eine Kurve zeichnen, die um einen Punkt P zentriert ist.
Abb .7 : Erstellung eines "glatten Negacones".
Wir können einen glatten Posicone und einen glatten Negacone gegenüberstellen, wie in Abbildung 1 dargestellt. Konjugierte Punkte M und M* haben entgegengesetzte Krümmungsdichten:
(61)
C(M*) = - C(M)
Auf den euklidischen Bereichen der beiden konjugierten Flächen sind diese Krümmungen null:
(62)
C(M*) = C(M) = 0
Wir erhalten ein Beispiel für 2D konjugierte Geometrien. Offensichtlich, wie bei unseren 4D-Falten, ist das Bild einer Geodäte einer Falte definitiv keine Geodäte der anderen. Siehe Abbildungen 8 und 9.
Abb .8 : Das Bild (bestehend aus konjugierten Punkten) einer Geodäte des glatten Posicones F ist keine Geodäte des glatten Negacones F.*
** ** Abb .9 : Das Bild (bestehend aus konjugierten Punkten) einer Geodäte des glatten Negacones F ist keine Geodäte des glatten Negacones F.* ** **
Es handelt sich lediglich um ein pädagogisches Bild, aber es veranschaulicht das grundlegende Konzept der konjugierten Geometrien. In der allgemeinen Relativitätstheorie behandeln wir 4D-Hypersurfaces, deren Metriken hyperbolische Geometrien mit der Signatur (+ - - -) besitzen.
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Originalversion (Englisch)
twin universe cosmology Matter ghost matter astrophysics. 2: Conjugated steady state metrics. Exact solutions. (p5)
This operation can be extended to joined negacones (negative angular curvature density). For an eucliean surface C(M) = 0 everywhere. Using elementary negacones and small portions of a plane one can build any regular surface, where the angular curvature density C(M), positive, negative or zero, is a continuous function of the point M. We can now build a truncated posicone and join it to a portion of sphere. The continuity of the tangent plane is ensured if the angular curvatures q are equal. See figure 6.
Fig .6 : Building a smoothed "posicone".
A surface with constant negative angular curvature is called a horse saddle. See figure 7. On such a surface one can draw a curve centered on a point P.
Fig .7 : Building a "smoothed negacone".
We can put a smoothed posicone and a smoothed negacone face to face, as shown on figure 1. Conjugated points M and M* have opposite curvature densities :
(61)
C(M*) = - C(M)
On the euclidean portions of the two conjugated surfaces these curvatures are zero :
(62)
C(M*) = C(M) = 0
We get an example of 2d conjugated geometries. Obviously, like in our 4d folds, the image of of a geodesic of a fold is definitively not a geodesic of the other one. See figures 8 and 9.
Fig .8 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed posicone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.*
** ** Fig .9 : The image (composed by conjugated points) of a geodesic of the smoothed negacone F is not a geodesic of the smoothed negacone F.* ** **
This is just a didactic image, but it illustrates the basic concept of conjugated geometries. In general relativity we deal with 4d hypersurfaces, whose metrics owns hyperbolic geometries, with signatures (+ - - -).
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