Universum der Astrophysik und Kosmologie Materie Geist Materie Astrophysik.6. Spiralstruktur.(p3)
- Wie man die Anfangsbedingungen für eine 2D numerische Simulation definiert.
Erstellung einer 2D Eddington-artigen Lösung des Paars von Poisson- + Vlasov-Gleichungen.
Die nicht einheitlichen (elliptischen) Lösungen der Vlasov-Gleichung wurden bereits seit langer Zeit intensiv untersucht, in 3D. In dem Folgenden betrachten wir Bewegungen und Positionen in 2D, wodurch wir die 2D selbstkonsistente elliptische Lösung der Vlasov-Gleichung konstruieren müssen.
Schreiben wir die Vlasov-Gleichung:
(1)
wo:
(2)
f (x , y , u , v , t ) ist die Geschwindigkeitsverteilungsfunktion. Die Gleichung (1) wird mit der Notation dyadischer Tensoren geschrieben, in Bezug auf die besondere (residuelle oder thermische) Geschwindigkeit C = ( u , v ).
<V> ist die makroskopische Geschwindigkeit. m ist die Masse einer Teilchen.
**** ist der Ortsvektor ( x , y ).
..
Die fett gedruckten Buchstaben repräsentieren Vektoren. Der letzte Term der Gleichung (2) stellt das Skalarprodukt zweier dyadischer Tensoren dar (siehe Referenz [20]). Wir führen nun eine 2D elliptische Eddington-artige Lösung ein:
(3)
wo C die residuelle, die thermische Geschwindigkeit ist. Unter stationären Bedingungen wird die Vlasov-Gleichung zu:
(4)
Kombiniert mit der Vlasov-Lösung, erhalten wir:
(5)
Dies ist ein Polynom dritten Grades in den Komponenten u und v der thermischen Geschwindigkeit C. Eine Lösung ergibt sich:
(6)
Dann:
(7)
Aus den Termen dritter Ordnung erhalten wir:
(8)
Aus den Termen zweiter Ordnung (9)
Kombiniert erhalten wir das folgende System:
(10)
Sei:
(11)
Dann:
(12)
Die Verteilungsfunktion wird zu:
(13)
wo C die radiale Komponente der thermischen Geschwindigkeit C und Cp ihre azimutale Komponente ist. Dann erhalten wir:
(14)
In der klassischen (dreidimensionalen) Eddington-Lösung hatten wir ein Geschwindigkeitsellipsoid, dessen Hauptachse auf den Mittelpunkt des Systems zeigte. Siehe Abbildung 6.
Fig. 6 :** Geschwindigkeitsellipsoid, das** einer Eddington-artigen Lösung entspricht.
In der vorliegenden 2D elliptischen Eddington-artigen Lösung erhalten wir ein Geschwindigkeitsellipsoid, dessen Hauptachse konstant ist und auf den Mittelpunkt des Systems zeigt. Im Zentrum wird das Geschwindigkeitsellipsoid zu einem Kreis (2D Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeit). Wie später gezeigt wird, ist seine Hauptachse < Cv > (mittlere radiale thermische Geschwindigkeit) konstant in Bezug auf die radiale Entfernung v. Ihre querstehende Achse
(mittlere azimutale thermische Geschwindigkeit) nähert sich unendlich dem Wert Null an. Siehe Abbildung 7.
Fig. 7 :** Die Entwicklung des Geschwindigkeitsellipsoids in der 2D Eddington-artigen Lösung,** in Abhängigkeit von der Entfernung vom Mittelpunkt des Systems.****