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Prolog.
...Physik
ist wie ein Kuchen:
(1)
- Erstes Stockwerk: Beobachtungen,
Experimente. - Zweites Stockwerk: Differentialgleichungen.
- Drittes Stockwerk: Geometrie
- Viertes Stockwerk: Gruppentheorie.
Gruppen regieren die Geometrie,
welche schöne Differentialgleichungen hervorbringt.
Mit Differentialgleichungen
bauen wir Dinge, die dann dazu verwendet werden, zu erklären oder vorherzusagen, was wir physikalische
Tatsachen nennen.
...Historisch begannen die Menschen, Tatsachen zu studieren und zu kodifizieren,
Beobachtungen anzustellen, Messungen durchzuführen. Dann erdachten sie Erhaltungsgesetze
und „physikalische Gesetze“. Zu Beginn des Jahrhunderts begannen sie zu glauben,
dass physikalische Gesetze etwas mit Geometrie zu tun haben könnten.
Zur selben Zeit fragte Felix
Klein:
Was
ist eine Geometrie?
Beachten Sie, dass er „eine Geometrie“ sagte und nicht „Geometrie“ (Erlanger Programm)
...Klein,
Lie, Cartan und andere zeigten, dass unter der geometrischen Erscheinung etwas lag.
Die Geometrie war nicht das oberste Stockwerk, das Nonplusultra der Erkenntnis in der Physik.
Aus einer Gruppenstruktur kann man eine Geometrie aufbauen.
Im Folgenden werden wir
versuchen, den Zusammenhang zwischen Gruppen, Geometrie und Physik aufzuzeigen.
Übrigens, über den Gruppen, was?
...Ich
würde dazu neigen, zu sagen: Logik. Aber die Logik ist eine Wohnung, deren letzter Bewohner Kurt
Gödel war, ein gefährlicher Pyromane. Mit seinem wohlbekannten Theorem steckte er die
Möbel in Brand, die vollständig zerstört wurden. Seit dieser Tragödie
ist das Zimmer unbewohnt.
...Deshalb
habe ich dort ein Fragezeichen gesetzt.
Gruppen.
...Was ist
eine Gruppe? Im Folgenden beschränken wir die Untersuchung auf dynamische Gruppen der
Physik: eine Menge quadratischer Matrizen (n,n), die definierte Axiome erfüllen. Diese Matrizen
g, Elemente
einer Gruppe G, wirken jeweils aufeinander durch klassische (Zeilen-Spalten-) Matrizen-
multiplikation. Unter diesen quadratischen Matrizen finden wir Einheitsmatrizen.
(1-bis)
...Eine
Gruppe gehorcht den Axiomen, die der norwegische Mathematiker Sophus Lie definiert hat.
Diese Axiome gelten für Objekte, die viel allgemeiner sind als Mengen von Matrizen.
Aber wir werden unseren Blick auf diese besondere Welt beschränken und die Matrizenmultiplikation
verwenden:
x
1 - Erstes Axiom der
Gruppentheorie:
Das Produkt zweier Elemente
g1 und g2 einer
Gruppe G:
(2)
g3
= g1 x g2
gehorcht:
(3)
Geben wir ein Beispiel
für eine Gruppe von Matrizen, die von einem einzigen Parameter a abhängt. Das Element
ist:
(4)
Das Produkt zweier Elemente
ergibt:
(5)
oder:
(6)
g(a)
x
g(b)
= g( g ) = g( a
- b ) = g ( g )
Wir können das Matrizenprodukt
schreiben:
(7)
welches ähnlich zu g1
und g2 ist, d.h.:
(8)
Gegenbeispiel: Betrachten Sie die folgende Menge von Matrizen, die
von einem einzigen Parameter a abhängen
(9)
Das Produkt zweier Elemente
ergibt:
(10)
welches grundlegend verschieden von (5) ist.
2 - Zweites Axiom
der Gruppentheorie:
In der Menge der Elemente
müssen wir ein besonderes finden, genannt neutrales Element e, welches, kombiniert
mit jedem anderen Element, gehorcht:
(11)
g x e = ex g = g
In Gruppen, deren Elemente
quadratische Matrizen sind, ist dieses neutrale Element e immer die Einheitsmatrix
1.
(12)
g x 1
= 1 x g = g
Beachten Sie, dass wir helle
Schrifttypen verwenden, um Skalare zu beschreiben, und fette Typen für andere Objekte: quadratische oder Zeilen-
oder Spaltenmatrizen.
Kehren wir zum
ersten Beispiel einer Gruppe zurück:
(13)
Beachten Sie, dass:
(14)
