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Prolog.
...Die Physik ist wie ein Kuchen:
(1)
- Erster Stock: Beobachtungen, Experimente.
- Zweiter Stock: Differentialgleichungen.
- Dritter Stock: Geometrie – Vierter Stock: Gruppentheorie.
Gruppen bestimmen die Geometrie, die wiederum schöne Differentialgleichungen hervorbringt.
Mit Differentialgleichungen bauen wir Dinge, die dann verwendet werden, um das zu erklären oder vorherzusagen, was wir physikalische Tatsachen nennen.
...Historisch begannen die Menschen damit, Tatsachen, Beobachtungen durch Messungen zu erforschen und zu kodifizieren. Danach erfanden sie Erhaltungssätze und „physikalische Gesetze“. Zu Beginn des Jahrhunderts begannen sie zu überlegen, dass physikalische Gesetze etwas mit Geometrie zu tun haben könnten.
Zur gleichen Zeit stellte Felix Klein die Frage: Was ist eine Geometrie?
Beachten Sie, dass er „eine Geometrie“ sagte und nicht „die Geometrie“ (Erlanger Programm).
...Klein, Lie, Cartan und andere zeigten, dass hinter der geometrischen Erscheinung etwas verborgen war. Die Geometrie war nicht der letzte Stock, das Ultima Thule des Wissens in der Physik. Aus einer Gruppenstruktur kann man eine Geometrie aufbauen.
Im Folgenden werden wir versuchen, den Zusammenhang zwischen Gruppen, Geometrie und Physik aufzuzeigen.
Zwischenzeitlich – was bedeutet das Wort „Gruppen“?
...Ich neige dazu zu sagen: Logik. Aber die Logik ist eine Wohnung, deren letzter Bewohner Kurt Gödel war, ein gefährlicher Pyromane. Mit seinem berühmten Satz hat er die Möbel in Brand gesetzt, die völlig zerstört wurden. Seit dieser Tragödie ist der Raum leer.
...Deshalb habe ich dort ein Fragezeichen gesetzt.
Gruppen.
...Was ist eine Gruppe? Im Folgenden beschränken wir uns auf dynamische Gruppen der Physik: eine Menge quadratischer Matrizen (n,n), die bestimmten Axiomen gehorchen. Diese Matrizen g, Elemente einer Gruppe G, wirken aufeinander durch klassische Matrixmultiplikation (Zeile-Spalte). Unter diesen quadratischen Matrizen finden sich Einheitsmatrizen.
(1-bis)
...Eine Gruppe gehorcht den Axiomen, die der norwegische Mathematiker Sophus Lie definiert hat. Diese Axiome gelten für Objekte, die viel allgemeiner sind als Mengen von Matrizen. Doch wir beschränken unseren Blick auf diese besondere Welt und verwenden die Matrixmultiplikation:
x
1 - Erstes Axiom der Gruppentheorie:
Das Produkt zweier Elemente g1 und g2 einer Gruppe G:
(2)
g3 = g1 x g2
erfüllt:
(3)
Geben wir ein Beispiel für eine Matrixgruppe an, die von einem einzigen Parameter a abhängt. Das Element lautet:
(4)
Das Produkt zweier Elemente ergibt:
(5)
oder:
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
Wir können das Matrixprodukt schreiben als:
(7)
was ähnlich ist wie g1 und g2, also:
(8)
Gegensätzliches Beispiel: Betrachten wir die folgende Menge von Matrizen, die von einem einzigen Parameter a abhängen:
(9)
Das Produkt zweier Elemente ergibt:
(10)
was grundlegend anders ist als (5).
2 - Zweites Axiom der Gruppentheorie:
In der Menge der Elemente müssen wir ein besonderes Element finden, das sogenannte neutrale Element e, das in Verbindung mit jedem anderen Element erfüllt:
(11) g x **e = e **x **g **= g
Bei Gruppen, deren Elemente quadratische Matrizen sind, ist dieses neutrale Element e stets die Einheitsmatrix 1.
(12) g x 1 = 1 x g = g Beachten Sie, dass wir kursiven Schriftarten für Skalare und fettgedruckte für andere Objekte verwenden: quadratische Matrizen, Zeilen oder Spalten.
Erinnern wir uns an das erste Beispiel einer Gruppe:
(13)
Beachten Sie, dass:
(14)
Index Dynamische Gruppentheorie
Originalversion (englisch)
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Prologue.
...Physics is like a cake :
(1)
- First floor : observations, experiments.
- Second floor : differential equations.
- Third floor : geometry - Fourh floor : groups theory.
Groups rule geometry, which fathers beautiful differential equations.
With differential equations we build things, which then are used to explain or predict what we call physical facts.
...Historically men began to study and to codify facts, observations, performing measurements. Then they imagined conservations laws, and "physical laws". At the begining of the century they began to think that physical laws could have something to do with geometry.
At the same period, Felix Klein asked : What is a geometry ?
Notice he said "*a *geometry" and not "geometry" (Erlangen's program)
...Klein, Lie, Cartan and others showed that something lied under geometrical appearence. Geometry was not the last floor, the nec plus ultra of knowledge in physics. From a group structure one can build a geometry.
In the following we will try to show the link between groups, geometry and physics.
By the way, upon groups, what ?
...I would tend to say : logics. But logics is a flat whose last occupier was Kurt Gdel, a dangerous pyromaniac. With his well-known theorem he put fire to the furniture,which was completely destroyed. Since this tragedy, the room is unoccupied.
...That's for I put a question mark there.
Groups.
...What's a group ? In the following we limit the investigation to dynamic groups of physics : a set of square matrixes (n,n) obeing defined axioms. Theses matrixes g, elements of a group G, act each on another through classical (line-column) matricial multiplication . Among these square matrices we find unity matrixes.
(1-bis)
...A group obeys the axioms defined by the Norvegian mathematician Sophus Lie. These axioms apply to objects which are much more general than matrixes sets. But we will limit our glance on this peculiar world and use the matrix-multiplication :
x
1 -** First axiom of groups'theory :**
The product of two elements g1 and g2 of a group G :
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g3 = g1 x g2
obeys :
(3)
Let us give an example of a group of matrix, which depends on a single parameter a . The element is :
(4)
The product of two elements gives :
(5)
or :
(6)
g(a) x g(b) = g( g ) = g( a + b ) = **g **( g )
We can write the matrix-product :
(7)
which is similar to g1 and g2 , i.e :
(8)
Example to the contrary : Consider the following set of matrixes which depend on a single parameter a
(9)
The product of two elements gives :
(10)
which is basically different from (5).
2 - Second axiom of groups'theory :
In the set of elements we must find a peculiar one, called neutral element e , which, combined to any other element, obeys :
(11) g x **e = e **x **g **= g
In groups whose elements are square matrixes this neutral element e is always the unity matrix 1 .
(12) g x 1 = 1 x g = g Notice we use lightfaced types to describe scalars and bold types for other objects : square or line or colomn matrixes.
Let us return to the first example of group :
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Remark that :
(14)