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3 - Drittes Axiom der Gruppentheorie:
Jedes Element der Gruppe muss sein Inverses, bezeichnet als g⁻¹, besitzen, definiert durch:
(15) g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
In unserem Beispiel gilt:
(16)
d. h.: b = -a oder:
(17) g⁻¹(a) = g(-a)
Hier ist die Berechnung der inversen Matrix trivial.
Welche Bedingung muss eine gegebene quadratische Matrix erfüllen, damit sie ein Inverses besitzt?
... Jeder quadratischen Matrix kann ein Skalar zugeordnet werden, der Determinante genannt wird. Für die Definition siehe ein Buch zur linearen Algebra. Diese Determinante wird bezeichnet als: det (g)
Außerdem gilt ein allgemeiner Satz:
det (g₁ × g₂) = det (g₁) × det (g₂)
Die Determinante einer Diagonalmatrix ist:
(18)
Daraus folgt: det (1) = 1
da 1 eine Diagonalmatrix ist.
Gemäß der Definition des Inversen einer Matrix gilt:
g × g⁻¹ = g⁻¹ × g = 1
Dann:
(19)
det (g × g⁻¹) = det (g) × det (g⁻¹) = 1
... Wenn det (g) = 0, kann die Bedingung (19) nicht erfüllt werden. Mengen von Matrizen, deren spezielle Elemente eine Determinante von null besitzen, erfüllen das dritte Axiom nicht und können keine Gruppe bilden.
Außerdem gilt:
(20)
4 - Viertes Axiom der Gruppentheorie:
Die Multiplikation muss assoziativ sein, d. h.:
(21)
( g₁ × g₂ ) × g₃ = g₁ × ( g₂ × g₃ )
Die Matrizenmultiplikation ist grundsätzlich assoziativ.
Dimension einer Gruppe:
... Wie wir sehen werden, kann eine Gruppe auf einem Raum wirken, dessen Punkte durch Spaltenvektoren beschrieben werden. Beispiel: Raum-Zeit-Punkte (sogenannte "Ereignisse"):
(22)
... Dies ist ein vierdimensionaler Raum. Verschiedene Gruppen können darauf wirken. Doch die Dimension einer Gruppe hat nichts mit der Dimension des Raums zu tun, auf dem sie wirkt.
Die Dimension einer Gruppe (von Matrizen) ist die Anzahl der Parameter, die diese quadratischen Matrizen definieren.
Wir haben ein Beispiel für Matrizen gegeben, die durch einen einzigen Parameter a definiert sind.
Somit beträgt die Dimension dieser Gruppe eins.
Beachten Sie:
(22-bis)
Hinweis:
Nicht alle Matrizengruppen sind kommutativ, obwohl die Gruppe, die wir untersucht haben, diese Eigenschaft besitzt:
(23)
Wenn eine solche Gruppe auf einen Spaltenvektor wirkt, der einem zweidimensionalen Raum entspricht:
(23-bis)
entspricht dies einer Drehung um einen festen Punkt in einer Ebene:
(23-ter)
Diese Operation ist offensichtlich kommutativ.
Sie neigen dazu zu sagen: „wie alle Rotationsgruppen“.
... Sie irren sich. Betrachten Sie Drehungen um Achsen, die durch einen gegebenen Punkt O verlaufen. Kombinieren Sie zwei aufeinanderfolgende Drehungen um unterschiedliche Achsen. Dies ist nicht kommutativ. Übung: Zeigen Sie dies mithilfe eines orthogonalen Achsensystems (OX, OY, OZ), indem Sie nachweisen, dass die kombinierten Drehungen um diese Achsen keine kommutative Operation bilden. Nehmen Sie ein beliebiges Objekt.
- Machen Sie eine Drehung um +90° um OX, dann eine Drehung um +90° um OZ
- Kein Rückgang zu den Ausgangsbedingungen und:
- Machen Sie eine Drehung um +90° um OZ, dann eine Drehung um +90° um OX
Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Wirkung einer Gruppe.
... Eine Gruppe G besteht aus quadratischen Matrizen g. Sie können miteinander multipliziert werden. Wir sagen, dass eine Gruppe auf sich selbst wirken kann.
Die Gruppe kann auch auf einen Raum wirken, der aus Punkten besteht, die durch Spaltenvektoren beschrieben werden. Beispiel:
(24)
Wenn wir schreiben:
(25)
wird die Wirkung der Gruppe auf diesen Raum:
(26) g × r
... In diesem speziellen Fall reduziert sich die Wirkung auf den Raum auf die einfache Matrixmultiplikation. Doch der Begriff der Wirkung ist viel allgemeiner.