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Eine Randbemerkung: Raum-Zeit-Orientierung.
** ...**In der Welt mit 2 Dimensionen hatten wir geometrische Objekte Buchstaben gleichgesetzt. In der Welt mit 3 Dimensionen waren sie „rechte Hand“ und „linke Hand“ gleichgesetzt.
Vierdimensionale Strukturen waren als animierte Hologramme gleichgesetzt.
**...**Was könnte eine Struktur mit fünf Dimensionen oder gar zehn Dimensionen sein? Manchmal beneide ich Gott, nicht wahr?
**...**Er muss lachen, wenn er unsere armseligen vierdimensionalen Strukturen betrachtet.
**...**Doch ein theoretischer Physiker, ja sogar ein Mathematiker, ist nichts anderes als eine orientierte vierdimensionale Struktur. Wären sie nicht so orientiert, könnten sie Vergangenheit und Zukunft, rechts und links nicht unterscheiden.
**...**Das Universum insgesamt ist eine vierdimensionale Struktur. Stellen wir uns vor, es sei ein geschlossenes Objekt mit lokal sphärischer Topologie. Bezeichnen wir t die Zeit. Zu einem bestimmten Zeitpunkt können wir einen Schnitt vornehmen, der eine dreidimensionale Hypersfläche ist. Wenn diese letztere eine Hypersphäre S3 ist, hat die Zeit eine Bedeutung. Der Zeitsvektor durchdringt diese Hypersfläche, und wir erhalten keine paradoxale Situation.
**...**Verringern wir die Anzahl der Dimensionen. Stellen wir uns eine geschlossene zweidimensionale Welt vor, eine Art Raum-Zeit (x,y,t).
**...**Wir können sie bei t = konstant schneiden und erhalten dann ein geometrisches Objekt mit der Dimension 3 – 1 = 2: eine zweidimensionale Fläche. An jedem Punkt repräsentiert der orientierte Normalenvektor die Zeitpfeilrichtung.
Wenn diese Raum-Zeit zeitlich orientierbar ist (wir nehmen an, sie sei geschlossen), dann ist der Raum eine S2-Sphäre:
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**...**Nehmen wir nun an, die Fläche, die den Raum darstellt, sei einseitig. Betrachten wir beispielsweise eine Boy-Fläche (eine geschlossene einseitige Fläche. Siehe Abschnitt „Mathematik“ der Webseite).
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Man kann eine solche Fläche herstellen, indem man Möbius-Bänder zusammenklebt. Ich zeige Ihnen eine:
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Sie wissen, dass man keinen orientierten Normalenvektor definieren kann:
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**...**Das zweifache Überlagerung der Boy-Fläche ist eine Sphäre S2. Wenn wir unsere dreidimensionale Raum-Zeit als eine Menge von S2-Sphären auffassen, die wie russische Puppen angeordnet sind, wobei jede einer bestimmten Wertes eines kosmischen Zeitparameters t entspricht, können wir (schwerfällig) einen gewissen Typ von Raum-Zeit vorstellen, bei dem antipodale Punkte identifiziert werden könnten. Das war die topologische Struktur, die im Artikel vorgeschlagen wurde:
Jean-Pierre Petit: „Das Problem der fehlenden Masse“. Il nuovo Cimento B, Band 109, Juli 1994, S. 697–710.
**...**Dann wissen wir, dass antipodale Punkte, die auf einem „Äquator“ einer Sphäre liegen, so angeordnet werden können, wie die zweifache Überlagerung eines Möbius-Bandes:
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So sehen wir, wie räumlich antipodale Regionen mit entgegengesetzten Zeitpfeilen verknüpft werden.
(157)
**...**Übrigens sehen wir hier, wie es enantiomorphe Objekte verknüpfen würde.
**...**Der Raum ist eine vierdimensionale Hypersfläche. Wenn wir eine kosmische Zeit t definieren können, können wir Schnitte bei t = konstant vornehmen, und diese Schnitte sind dreidimensionale Räume. Wenn der Raum geschlossen ist, könnten wir ihn einer S3-Sphäre gleichsetzen, die als zweifache Überlagerung eines projektiven Raums P3 modelliert werden kann (das Äquivalent der Boy-Fläche im dreidimensionalen Raum). Diese Operation würde Regionen mit entgegengesetzten Zeitpfeilen miteinander in Wechselwirkung bringen.
Index Theorie der dynamischen Gruppen
Originalversion (englisch)
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A parenthesis : Space-time orientation.
** ...**In 2d's world we assimilated geometrical objects to letters. In 3d's world they were assimilated to "right hand" and "left hand".
Four-dimensional structures were assimilated to animated holograms.
**...**What the hell could be a five-dimensional structure, or a ten dimensional one ? Sometimes I envy God, don't you?
**...**He must laugh, looking at our miserable four dimensional structures.
**...**But a theoretical physicist, and even a mathematician, are nothing but oriented four dimensional structures. If they were not, they could not distinguish past from future, and the right from the left.
**...**The universe, as a whole, is a four dimensional structure. Let us think about it as a closed object, with locally spherical topology. Call t the time. At a given time we can make a cut, which is a 3d hypersurface.If this last is a hypersphere S3, time makes sens. The vector time crosses this hypersurface and we get no paradoxical situation.
**...**Let us reduce the number of dimensions. Imagine a closed two dimensional world, some sort of space time (x,y,t).
**...**We can cut it at t = constant, then we get a geometrical object whose dimension is 3 - 1 = 2 : a 2d surface. At any point the oriented normal vector figures the arrow of time.
If this space-time can be oriented in time ( we suppose it is closed ) at given time, space is a S2 sphere :
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**...**But suppose the surface representing space is single-sided. Take a Boy surface, for an example ( which is a closed single-sided surface. See the section "Mathematics" of the site ).
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You can build a one just gluying Mbius strips together. I show a one :
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You know that you cannot define an oriented normal vector :
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**...**The two folds cover of a Boy's surface is a sphere S2. If we assimilate our three dimensional space-time to a sets of spheres S2, arranged like russian dolls, each corresponding to a given value of a cosmic time t, we can think (hardly ) to some sort of space-time where antipodal points could be put together. That was the topological structure suggested in the paper :
Jean-Pierre Petit : "The missing mass problem". Il nuovo Cimento B, vol. 109, july 1994, pp. 697-710.
**...**Then we know that antipodal points, located on an "equator" of a sphere can be arranged as the two-folds cover of a Mbius strip :
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We see how this conjugates space-antipodal regions with opposite time's arrows.
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**...**By the way, we see how it would conjugate enantiomorphic objects.
**...**Space is a four dimensional hypersurface. If we can define a cosmic time t, we can make cuts at t = constant and these cuts are 3d spaces. If space is closed, we could assimilate it to a S3 sphere, which can be shaped as the two folds cover of a projective space P3 ( the equivalent of a Boy's surface, in 3d ). This operation would put opposite time's arrow regions into interaction.