Dynamisches Gruppenprojekt und Impulsraum

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Das Projekt.

… Unser Ausgangspunkt wird eine dynamische Gruppe G sein, also eine Familie quadratischer Matrizen g.

… Dynamisch: weil die Zeit darin involviert ist.

… Diese Gruppe besitzt eine gewisse Dimension n. Sie kann auf einem Raum X wirken, der seine eigene Dimension hat (die mit der Dimension der Gruppe nichts zu tun hat; letztere ist die Anzahl unabhängiger Parameter, die jede Matrix g der Menge definieren, die die Gruppe G bildet).

… Wir benötigen nun eine Wirkung, um einen Raum zu definieren, auf dem die Gruppe wirkt, ihren Impulsraum. Dieser Raum ist nicht der Raum-Zeit, in dem die Teilchen vermutlich reisen sollen. Die Konstruktion eines solchen Raums führt uns in ein seltsames Land, das einer schizophrenen Erde gleicht. Doch wenn Sie diesen Weg beschreiten, werden Sie der physikalischen Realität näher sein, als je zuvor.

… Sobald wir einen Raum haben, auf dem wir spielen können, und eine Wirkung, auf die wir wirken können, werden wir die Impuls-Bewegungen in Arten klassifizieren und diese Arten den elementaren Teilchen zuordnen.

… Oben haben wir bereits darauf hingewiesen, dass das Produkt einer Gruppe mit einem Vektor – entsprechend SO(2) und O(2), sowie SO(3) und O(3) – einer Wirkung entspricht: g × r

das heißt:
(166b)

Beachten wir, dass wir es auch äquivalent schreiben können:
(167)

Für die orientierte euklidische Gruppe und die vollständige euklidische Gruppe müssen wir eine Wirkung schreiben:
(168)

Aber diese Wirkungen, ebenso wie die entsprechenden Wirkungen dynamischer Gruppen auf den Raum, wie:
(169)

erzeugen … nichts. Sie bewegen lediglich Objekte im Raum, oder in der Raum-Zeit, oder in feineren Räumen (fünfdimensionaler Raum, zehndimensionaler Raum).

Wir müssen etwas suchen, das „unter der Gruppe verborgen“ ist: ihren Impulsraum (alle Matrizengruppen besitzen einen) und ihre

koadjungierte Wirkung auf ihren Impulsraum.

die der wirklichen Physik entspricht.

Was ist Physik?

… Gute Frage. Der französische Mathematiker Jean-Marie Souriau hat den Begriff der koadjungierten Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum erfunden und ihn Anfang der siebziger Jahre bewiesen. Dieser Punkt wird später ausführlicher behandelt.

… Natürlich wird der Physiker, nach Abschluss der Berechnungen, fragen:

Warum?

… Mit anderen Worten: Es funktioniert, aber können wir dem Begriff der koadjungierten Wirkung einer dynamischen Gruppe auf ihren Impulsraum eine physikalische Bedeutung geben? Die Antwort scheint zu sein: Nein.

… Stellen Sie sich vor, Sie wären ein Schüler des Aristoteles. Plötzlich erhalten Sie eine Intuition und erfinden ein neues Wort dafür:
Trägheit.

… Aristoteles kommt. Er wurde von anderen Schülern darüber informiert, dass Sie etwas Neues erfunden hätten, und fragt:

– Könnten Sie uns erklären, was Trägheit bedeutet?

Sie könnten es nicht mit dem Vokabular des Aristoteles tun. Sie wären einem Paradigmenwechsel begegnet.

… Wechseln wir in die mittelalterliche Zeit. Versuchen Sie, eine chemische Reaktion mit den Begriffen der vier Elemente zu erklären. Auch das ist unmöglich…

Die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum ist ein Paradigmenwechsel. Es ist ein neuer Ansatz in der Physik.

Tatsächlich manipulieren Physiker ständig mit Gruppenwirkungen, wenn sie von „Invarianz“ oder „Erhaltungssätzen“ sprechen.

Ein herkömmlicher Physiker wird dann fragen:

– Können Sie mir bitte erklären, was die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum bedeutet, möglichst in einfachen Worten?

Wir antworten:

– Warum verwenden Sie Erhaltungssätze in der Physik?

– Äh… weil es erhaltene Größen gibt: Energie, Masse, elektrische Ladung…

– Warum sind sie erhalten?

– Aber das ist ein grundlegendes Prinzip!

– Mein lieber Freund, betrachten Sie die koadjungierte Wirkung einer Gruppe auf ihren Impulsraum als ein grundlegendes Prinzip.

– Was meinen Sie damit?

– Jede Physik beruht auf einer Gruppenstruktur. Wenn Sie die Gruppe identifizieren, können Sie ihre koadjungierte Wirkung und den entsprechenden Impulsraum konstruieren. Danach werden die Komponenten des Impulses zu den entsprechenden physikalischen Größen.

– ………

Achtung. Wenn Sie Physiker sind (selbst theoretischer Physiker…) und das Folgende lesen, werden Sie eine paradigmatische Veränderung erfahren. Danach wird die Physik einfach… anders sein.

Wirkungen.

Was ist eine Wirkung?
Etwas, das mit einer Gruppe verbunden ist und die folgenden Axiome erfüllt:
(170)

Natürlich ist für Matrizengruppen die Verknüpfungsoperation:

x
(Matrixmultiplikation Zeile-Spalte)

Für Matrizengruppen können wir schreiben:
(171)

Betrachten Sie den Spaltenvektor:
(172)

wobei x, beispielsweise, Vektoren darstellt (173)

Erfüllt (174)

die Axiome einer Wirkung? Seien g und g' zwei Elemente der Gruppe G.
(175)

(175b)

Wir müssen haben:
(176) A_g(A_g'(x)) = A_g''(x)

das heißt:
(177)

unter Berücksichtigung der Assoziativitätseigenschaft:
(178) g'' = g × g'

Es handelt sich tatsächlich um eine Wirkung der Gruppe.

… Beachten Sie, dass wir das Element g der Gruppe G links platziert haben. Was geschieht, wenn wir es rechts platzieren? Dann muss es mit einer Zeilenmatrix y kombiniert werden.
(179) A_g(y) = y × g

Ist das eine Wirkung?

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