a4115
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Wir benötigen:
(180)
Ag ( Ag'(y)) = Ag"(y)
Ag(y) = y × g
Ag'(y) = y × g'
Ag ( Ag'(y)) = y × g' × g
Aber:
Das Produkt zweier Matrizen ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Daraus folgt:
(181) Ag(y) = y × g
ist keine Gruppenwirkung: Sie erfüllt nicht die oben genannten Axiome. Sie entspricht jedoch einer „Gegenwirkung“:
(182)
Für Matrizen:
(183)
Wir suchen weiterhin nach Wirkungen und Gegenwirkungen. Aus dem Vektor x können wir seinen Transponierten bilden und versuchen:
(184)
Handelt es sich um eine Wirkung? Lassen Sie uns prüfen.
g" = g × g'
(185)
(186)
Hier verwenden wir einen Satz der linearen Algebra:
(187) M⁻¹ × N = ( N × M )⁻¹
wobei M und N beliebige (n,n)-Matrizen sind. Daraus folgt:
(188) g'⁻¹ × g⁻¹ = ( g × g' )⁻¹ = g"⁻¹
und:
(189)
was eine Gruppenwirkung ist. Betrachten wir nun:
(190)
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Zeigen wir, dass es sich um eine Wirkung handelt. Wir betrachten die folgenden drei Matrizen.
(191)
g
g'
g" = g × g'
Ag(m) = g × m × g⁻¹
Ag'(m) = g' × m × g'⁻¹
Ag"(m) = g" × m × g"⁻¹
Wir müssen überprüfen:
(192) Ag(Ag'(m)) = Ag"(m)
Berechnen wir die linke Seite:
(193) g × (g' × m × g'⁻¹) × g⁻¹
oder auch:
(194) g × g' × m × g'⁻¹ × g⁻¹
das heißt:
(195) (g × g') × m × ( g × g' )⁻¹ = g" × m × g"⁻¹
Es handelt sich tatsächlich um eine Gruppenwirkung. Wir nennen sie, entsprechend Souriau,
adjungierte Wirkung:
(193)
Wir betrachten nun eine Gegenwirkung der Gruppe auf eine Matrix m.
(194) AAg(m) = g⁻¹ × m × g
Zeigen wir, dass sie folgendes erfüllt:
(195) AAg'(AAg(m)) = AAg"(m)
Berechnen wir die linke Seite:
(196) g'⁻¹ × (g⁻¹ × m × g) × g
oder auch:
(197) g'⁻¹ × g⁻¹ × m × g × g'
das heißt:
(198) (g × g')⁻¹ × m × ( g × g' )
oder auch:
(199) g"⁻¹ × m × g"