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Wir benötigen:
Duale Aktionen.
Oben haben wir eine Aktion gebildet:
(200)
und eine Anti-Aktion:
(201)
Die erste kann sich auf einen Spaltenvektor m beziehen:
(202) m' = g x m
und die zweite auf einen Zeilenvektor n:
(203) n' = n x g-1
m gehört einem bestimmten Raum M an
n gehört einem anderen Raum N an.
Bilden wir den Skalar:
(204) S = n m Beachten wir, dass:
(205) n' **m' **= n x g-1 x g x m
... Wir werden sagen, dass die beiden betrachteten Aktionen dual sind. Ebenso sind die beiden Räume M und N, zu denen m und n gehören, duale Räume: N = M* oder M = N*
Üblicherweise sagt man, wenn m ein Vektor ist, dann ist n sein Kovector.
Der Präfix co ist typisch für die Dualität. Wie Souriau bemerkte, existiert die Dualität auch in der Politik und fügt hinzu:
- Die Dualität war bereits im Marxismus-Leninismus von Anfang an vorhanden. Denken Sie an den Kommunisten und den Munisten.
Nehmen wir eine andere Perspektive. Angenommen, wir haben eine Aktion und wollen ihre duale konstruieren.
Schematisch:
(206)
... Um ein Skalarprodukt mit dem Spaltenvektor m bilden zu können, muss n ein Zeilenvektor sein. Diese beiden Vektoren müssen daher durch dieselbe Anzahl skalärer Parameter definiert sein:
(207)
dann suchen wir die duale Aktion:
(208)
n' = Ag(n) so, dass das Skalarprodukt:
(209)
invariant bleibt. Es muss gelten:
(210)
n' m' = n m Wir haben:
(211) m' = g x m
(212) Ag(n) x g x m = n m
deren Lösung lautet:
(213) Ag(n) = n x g-1
Zur Konstruktion der wesentlichen Aktion, oder der koadjungierten Aktion einer Gruppe auf ihrem Momentenraum (nach Souriau).
Wir suchen eine Wirkung der Gruppe auf ihren „Momentenraum“. Wir werden sie als duale einer Anti-Aktion konstruieren:
(214) AAg(m) = g-1 x m x g
... In der vorhergehenden Sektion war m ein Vektor. Aber in (214) handelt es sich um eine Matrix. Wir werden eine Matrix betrachten, die von einer bestimmten Anzahl Parameter abhängt: { m1 , m2 , . . . . , mn }
Wir müssen einen dualen Satz skalärer Größen vorstellen: { n1 , n2 , . . . . , nn }
damit gilt:
(215)
Schematisch:
(216)