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Auswahl der Matrix m.
... Eine Gruppe G kann einer bestimmten Fläche verglichen werden. Sie hängt von einer gewissen Anzahl von Parametern ab. Sei P dieser Parameterraum der Gruppe und p ein Punkt in diesem Raum. Die Anzahl dieser Parameter pi ist die Dimension der Gruppe.
(217)
Gezeigt: das neutrale Element e (die Einheitsmatrix 1).
Wir können eine Veränderung d p angeben:
(218)
... Danach differenzieren wir die Matrix g, die ein Element der Gruppe ist. Wir erhalten eine quadratische Matrix dg, die nicht zur Gruppe gehört. Man nennt sie den Tangentialvektor an die Gruppe. Diese Tangentialvektoren bilden das, was man die Lie-Algebra der Gruppe nennt (die eigentlich keine Algebra ist).
Wir wählen, die Differentiation in der Nähe des neutralen Elements durchzuführen:
(219)
und wir wählen die folgende Antiwirkung:
(220) AAg(m) = g⁻¹ x dg(g=e) x g
Bemerkung:
Warum wählen wir den Tangentialvektor an die Gruppe bei g = 1?
... Wir könnten eine allgemeinere Form verwenden, einen Tangentialvektor dg an jedem Punkt der Gruppe. Wir würden dasselbe Ergebnis erhalten, doch die Berechnungen wären viel mühsamer.
Die Dimension der Gruppe ist n. Die Matrix g hängt von n Parametern { pi } ab.
Das Element der Lie-Algebra dg(g=e) hängt von derselben Anzahl von Parametern { d pi } ab.
Die Berechnung der oben genannten Antiwirkung liefert die Abbildung:
(221) { d pi } -----> { d pp'i }
Wir führen dieselbe Anzahl an Skalaren ein: { J i }
Wir nennen diese Menge den Impuls J der Gruppe. J = { J i }
Es ist eine Menge von n Größen, n Skalaren. Manchmal können wir sie in einer Matrix darstellen (Poincaré-Aktion auf ihren Impuls).
{ J i } ist der Kotangentialvektor { d p i } zum Tangentialvektor der Gruppe. Die Dualität ergibt:
(222)
Aus dieser Erhaltung des Skalarprodukts können wir, falls wir die Abbildung kennen:
(223) { d p i } -----> { d p' i }
die duale Abbildung konstruieren:
(224) { J i } -----> { J 'i }
Dies ist die wesentliche Wirkung, die wir suchen, und Souriau nennt sie die koadjungierte Wirkung der Gruppe auf ihren Impulsraum.
Die beste Art, dieses Konzept zu veranschaulichen, ist ein Beispiel anzugeben:
Koadjungierte Wirkung der Poincaré-Gruppe auf ihren Impulsraum Jp.
Oben haben wir die verallgemeinerte Lorentz-Gruppe vorgestellt. Durch die Wahl:
(225)
erhalten wir die Lorentz-Gruppe L, deren Element L der axiomatischen Definition genügt:
(226)
Der Raum-Zeit-Vektor ist (227)
Mit c = 1 erhalten wir die elementare quadratische Form, die Minkowski-Metrik:
(228)
Die inverse Matrix ist (229)
Führen wir nun eine Raum-Zeit-Translation ein:
(230)
wir konstruieren das Element gp der Poincaré-Gruppe Gp wie folgt:
(231)
Übung: Zeigen Sie, dass es sich um eine Gruppe handelt und berechnen Sie die inverse Matrix:
(232)
Das Element der Lie-Algebra ist (233)
und die Antiwirkung:
(234) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
Wir bemerken, dass
(235) G d L
eine schiefsymmetrische Matrix ist. Nennen wir sie:
(236)
daraus folgt:
(237)
Sei:
(238)
daraus können wir die Antiwirkung konstruieren:
(239) dgp' = gp⁻¹ x dgp x gp
was uns die Abbildung liefert:
(240)
(240b) (240c)
ist die gesuchte Abbildung:
(241)