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Teilchen mit Spin.
...Die Poincaré-Gruppe beschreibt die relativistische Bewegung eines punktförmigen Objekts. Ebenso beschreibt die Bargmann-Gruppe die nichtrelativistische Bewegung. Die Komponenten des Impulses ergeben sich als rein geometrische Größen. Es handelt sich um eine Geometrisierung der Physik. Die Physiker sind vertraut mit der Energie E und dem Impulsvektor p. Doch sie können etwas verwirrt sein über die beiden anderen Objekte: den Übergang f und den Spinvektor l. Die Form der Impulskomponenten hängt von der Wahl der Koordinaten ab. ...Jede dynamische Gruppe besitzt ihren Impulsraum und ihre koadjungierte Wirkung auf diesen Raum. Wenn wir anstatt zunächst die relativistische Welt (Poincaré-Gruppe) zu wählen, die nichtrelativistische Welt gewählt hätten, müssten wir uns auf die Bargmann-Gruppe stützen. Für rechnerische Details siehe meine Vorlesungen über Gruppen. Die Bargmann-Gruppe ist eine nichttriviale Erweiterung der Galilei-Gruppe: (272)
Wie der Leser erkennen kann, wirkt diese Gruppe auf einem fünfdimensionalen Raum:
**r **: Raum
t : Zeit
z : eine zusätzliche Variable.
...Diese Fragen bezüglich zusätzlicher Variablen werden später behandelt. Auf dieser Seite wurde oben die vollständige Berechnung der koadjungierten Wirkung der Poincaré-Gruppe gegeben. Ebenso könnte man die Berechnung der koadjungierten Wirkung der Bargmann-Gruppe auf ihren Impulsraum ableiten. Paradoxerweise ist die Berechnung in der nichtrelativistischen Welt etwas komplizierter als in der relativistischen Welt. Das Ergebnis lautet folgendermaßen: (273)
Der Physiker erkennt einige vertraute Objekte, wie die Geschwindigkeit: (274)
und die kinetische Energie: (275)
m v ist der Impuls. Geschwindigkeit gegenüber was? Eine Gruppe verändert die Bewegungsparameter und verleiht einem Teilchen eine Geschwindigkeit v und eine kinetische Energie E. Wir können auch die umgekehrte Interpretation wählen und betrachten, dass eine Gruppe eine besondere Sichtweise auf etwas, auf ein Teilchen, ist. Wenn wir die Gruppe SO(3) betrachten, die Matrizen a, bedeutet dies „gesehen aus einer anderen Perspektive“. Wenn wir die Gruppe O(3) betrachten, die Matrizen a, fügt dies die Möglichkeit hinzu, die „Sache“ durch ein Spiegelbild zu beobachten.
Der Translationsvektor (276)
der Euklid-Gruppe fügt „gesehen von anderswo“ hinzu.
In dynamischen Gruppen bedeutet die Anwesenheit einer Geschwindigkeit v in der Gruppe, dass der Beobachter sich bewegt. Die Zeittranslation e = Dt bedeutet, dass der Beobachter die Sache nach einer gewissen Verzögerung sieht. Der Translationsvektor Dr und die zeitliche Verzögerung Dt können zu einem Raum-Zeit-Translationsvektor zusammengefasst werden: (277)
Betrachten Sie die Formeln: Aus der Bargmann-Gruppe ergibt sich:
m' = m
Unabhängig von der Perspektive bleibt die Masse unverändert.
Vereinfachen wir diese „Perspektive“ etwas, indem wir a = 1 wählen.
Die koadjungierte Wirkung wird zu: (278)
...Die koadjungierte Wirkung zeigt die Änderung der Bewegungsparameter an. Wenn wir davon ausgehen, dass wir von einer stationären Situation in eine nichtstationäre Situation übergehen, entsprechen die Anfangsbedingungen:
E = 0 (Nullenergie)
**p **= 0 (Nullimpuls, Nullgeschwindigkeit)
„Übergang“ f = 0
Dann ergibt die koadjungierte Wirkung: (279)
„Betrachten“ muss im etymologischen Sinne verstanden werden.
Ein Gerichtsvollzieher sagt: - Erstellen Sie eine Inventarliste und eine Aufstellung.
...Eine statische (v = 0) Sichtweise der Dinge entspricht der Euklid-Gruppe. Der Gerichtsvollzieher beobachtet die Dinge aus der Entfernung c. Er beobachtet die Ereignisse genau in dem Moment, in dem sie eintreten (Dt = 0). Gegebenenfalls betrachtet er sie aus einer bestimmten Richtung (a verschieden von 1).
...Ein General, der über ein Schlachtfeld in einem Flugzeug fliegt, ist eine Art Gerichtsvollzieher, der die Dinge aus einer bewegten Perspektive beobachtet (aus einem Flugzeug, das mit Geschwindigkeit v fliegt). ...Aber ein General, der in seinem Hauptquartier einen Film betrachtet, den ein unbemanntes Flugzeug, ein Drohne, einige Stunden zuvor aufgenommen hat, sagt: - Betrachten wir das Ziel so, wie es vor einer Stunde war (Dt ungleich null), gesehen von einem bewegten Beobachtungspunkt (v ungleich null), aus einer Höhe von fünftausend Fuß (c ungleich null), während man mit Geschwindigkeit v fliegt und das Foto unter einem bestimmten Winkel (a verschieden von 1) aufnimmt.
...Ein Ziel hat keine definierte Geschwindigkeit, Position oder Orientierung, selbst wenn es als „festes“ Gebäude angenommen wird. Alles ist relativ. Selbst die Erde, die Sonne, unsere Galaxie bewegen sich im Raum.
...Der „Nordpol“ der Erde unterscheidet sich um 23° vom Nordpol der Sonne und verändert sich im Laufe der Zeit (26.000 Jahre), bedingt durch die Präzession der Äquinoktien. Der vom Sonnenlicht angezeigte Nordpol (ihre eigene Rotationsachse) ist nicht derselbe wie der von unserer Galaxie, der Milchstraße, angezeigte Nordpol, die ihre eigene Drehbewegung hat (Abstand von 90°). Selbst eine Galaxie bewegt sich mit dreihundert Meilen pro Stunde. Gegenüber was? Gegenüber den anderen. Das ist alles, was wir sagen können. Die Gruppe entspricht zwei verschiedenen Blickwinkeln.
...Wenn ich annehme, dass das Objekt ruht, fest im Raum und in der Zeit ist und keine Rotationsbewegung besitzt, kann ich nur folgendes sagen:
- Wenn ich mich auf eine Entfernung c entferne.
- Wenn ich die Sache beobachte, während ich mit Geschwindigkeit v fliege.
- Wenn die Information von dieser Sache mit einer zeitlichen Verzögerung Dt bei mir eintrifft.
Im Vergleich zu mir:
---> Die Masse des Objekts bleibt unverändert.
----> Ich weise dem Objekt einen Impuls mv zu, der als scheinbar betrachtet wird.
-----> Das Objekt erhält einen „Übergang“ **f **= m [ c - v Dt ]
-----> Es erhält einen Spin (279b)
Schreiben wir dies etwas expliziter: (280)
(281)
(282)
oder: (283)
Man kann die drei unabhängigen Komponenten der Spinnmatrix l als Komponenten eines Vektors betrachten: (283b)
...Obwohl das Vektorprodukt in unserem Raum nicht definiert wurde, d.h. wir haben dem Raum keine rechts-links-Orientierung zugewiesen, können wir den letzten Ausdruck als Vektorprodukt interpretieren. (284)
...Der umgekehrte v deutet auf das Vektorprodukt hin. Wir sehen, dass die letzte Zeile der Formeln für die koadjungierte Wirkung entspricht: (285)
l ist eine Matrix, kein Vektor. Doch je nach gewählter Notation bezeichnen fettgedruckte Buchstaben indifferenterweise eine Matrix oder einen Vektor.
Dieser Vektor beginnt, etwas Vertrautes für den Physiker zu erinnern: den kinetischen Impuls.